세트의 순열
세트의 순열에 관한 질문이 있으며 다음과 같습니다.
문제 : 샘플 공간을 두십시오$X$ 순열의 집합 $\{1,2,3,4,5\}$, 순열 $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ 객체 할당을 나타냅니다. $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ 우리는 $n_i=j$ 사람이라면 $i$ 사람이 물건을 받다 $j$. 더욱이$i\in \{1,2,3,4,5\}$. 이벤트를 정의하면 :
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
내 혼란 : 예를 들어 샘플 공간에서이 세트가 갖는 정의 된 요소 특성 세트 아래에 이러한 요소를 나열하는 방법을 이해하지 못합니다.$X$, 할 수있다 $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
그렇지 않은 경우 값 $n_1$, $n_2$, ... 걸릴 수 있습니다 $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ 그래서 샘플 공간의 한 가지 가능한 요소는 $(2,3,4,5,1)\in X?$.
하지만 세트에서 $A_i,$ 이제 새로운 조건이 있습니다. $n_i=i$, 즉 세트 $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. 나는의 정의에 약간 혼란 스럽습니다.$n_i=i$ 세트에서 $A_i,$ 그리고 얼마나 많은 요소 $A_1, A_2,...,A_5$포함합니다. 누구든지 세트의 요소를 설명하거나 찾도록 도와 줄 수 있습니까?$A_i$, 또는$ A_1$ 과 $A_2?$ 감사 드리고 싶군요.
답변
순열의 정의를 집합에서 자체에 대한 bijective 함수 로 사용하면 (각 문자가 한 번 사용되는 문자열의 관련 정의가 아닌 등 ... )$A_1$ 순열 집합입니다. $\{1,2,3,4,5\}$ 그런 $1$ 매핑됩니다 $1$.
마찬가지로 순열의 정의를 문자열로 대신 사용하면 $A_1$ 순열 집합입니다. $\{1,2,3,4,5\}$ 그런 $1$ 첫 번째 위치에 있습니다.
여기에는 다음이 포함되지만 이에 국한되지는 않습니다. $12345, 13524, 15243,\dots$ 다음과 같은 것을 포함하지 않습니다. $23451$ 또는 $54321$ 이후 $1$ 첫 번째 위치에 있지 않으며 추가로 다음과 같은 것을 포함하지 않습니다. $11111$ 또는 $67890$ 이것들은 순열이 아니기 때문에 $\{1,2,3,4,5\}$( 첫 번째는 각 문자가 정확히 한 번만 사용할 수 있기 때문에 순열이되지 않고 두 번째는 사용 된 문자가 올바른 기본 집합에서 제공되지 않기 때문에 실패했습니다. 동등하게 첫 번째는 bijective가 아니고 두 번째는 잘못된 codomain을 가졌습니다. ).
다음과 같은 것에 대해 이야기 할 가치가 있습니다. $A_1\cap A_2$첫 번째 항 과 두 번째 항을 고정 소수점으로 동시에 갖는 순열입니다 ...$12345, 12543, 12453,\dots$, 첫 번째 위치는 반드시 $1$ 그리고 두 번째 위치는 반드시 $2$.
또한 볼 가치가 있습니다 $A_1^c$, 다음과 같은 순열 집합 $1$고정 소수점 이 아닙니다 .
마지막으로, 상당히 중요한 것은 $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, 순열 집합 $\{1,2,3,4,5\}$되도록 것도 요소는 점을 고정되지 않는다. 고정 점이없는 순열을 혼란 이라고 부릅니다 .
이것들을 세는 것에 관해서는 $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$평소처럼 제품의 규칙에 직접 접근합니다. 값이 강제되지 않는 위치의 경우 해당 위치에 나타나는 요소를 선택하고 이전에 선택한 옵션 수를 기록해 둡니다. 당신은 그것을 가지고$|A_1|=4!$ 그 $|A_1\cap A_2|=3!$ 등등.
포함-제외와 결합 된 이러한 관찰은 혼란의 수를 계산할 수있게 해줄 것입니다. 제가 여러분이 직접 끝내거나 링크 된 기사에서 읽도록 남겨 두는 것입니다. 나는 혼란의 수를 계산하는 것이 현재 작업중 인 질문의 후반 부분이거나 매우 밀접한 관련이 있기 때문에이 질문을 완료 한 직후에 질문해야 할 질문 일 수도 있다고 강력히 의심합니다.
아니요, $i$세트의 특성화 외부에서 정의됩니다. 의미$i$각 세트에 대해 고정됩니다. 그래서$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$
또한 튜플이 $X,$ 과 $(1,1,1,1,1)$순열이 아닙니다.
순열에 의해 모든 요소를 사용해야 함을 의미하는지는 명확하지 않습니다.$\{1,2,3,4,5\}.$ 그렇다면 $(5-1)!$ 요소의 수로 $A_1$ 첫 번째 문제를 수정 한 다음 $4$ 두 번째 선택 항목을 선택한 다음 $3$선택 ...
반복을 허용하면$5$ 나머지 각각의 선택 $4$ 위치, 그래서 당신은 $5^4$ 요소 $A_1.$