스피너의 회전
벡터와 유사하게 만드는 특정 속성을 가진 특정 수학적 개체로서 스피너에 대한 직관적 인 접근 방식에 대한 질문이 있지만 반면에 벡터와 스피너가 다른 속성이 있습니다.
Wiki는 스피너에 대해 다소 기하학적 인 설명 을 제공합니다 .
"벡터 및 텐서와 달리 스피너는 공간이 완전한 회전을 통해 계속 회전 할 때 음수로 변환됩니다. $0°$ ...에 $360°$ (그림 참조). "
다른 출처에서는 스피너를 회전 시키면 $720°$동일한 스피너를 얻을 수 있습니다. 분명히 일반적인 벡터를 다음과 같이 회전하면$360°$우리는 동일한 벡터를 얻습니다. 따라서 스피너는 일반적인 의미에서 벡터가 아닙니다.
질문 : 제가 이해하지 못하는 것은 정확히 '회 전자의 회전'이라는 것입니다. 이런 종류의 '회전'을 어떻게 설명 할 수 있습니까?
나는 그 질문이 어리석게 들린다는 것을 알고 있지만, 상식적으로 순진한 의미에서 회전이 무엇인지 기억하면 우리는 매우 구체적인 틀에서 회전을 생각합니다. 순진한 회전은 그룹의 요소에 의한 작업입니다. $SO(3)$ 실제 공간에서 $\mathbb{R}^3$. 스피너가 살지 않기 때문에$\mathbb{R}^3$ 스피너가 사는 공간에서 '로 에이션'이 무엇인지 정확히 지정하는 것이 필요하다고 생각합니다.
일반적인 벡터와 비유를 그릴 수 있습니다. $3D$우주. 일반적인 회전$3D$ 회전축에 의해 결정됨 $\vec{b}$ 및 회전 각도 $\phi$. 우리가 회전한다고 wlog$z$-각도 별 축 $\phi$, 그러면 회전이 $3 \times 3$ 매트릭스 $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
즉 $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ 다음 회전 $\vec{v}$ 단순히 $R \vec{v}$.
그러나 구체적으로 '회 전자 회전'이란 무엇입니까? 어떻게 설명됩니까?
단순함을 위해 입자 물리학에서 가장 일반적인 스피너 표현에 초점을 맞 춥니 다. $SU(2) \subset SL(2, \mathbb{C})$ 단순히 연결된 제공 $2$ ...에 $1$ 커버링 맵 $f:SU(2) \to SO(3)$회전 그룹의. 분명히$SU(2)$ 하위 그룹으로 작동 $SL(2, \mathbb{C})$ 복잡한 벡터 공간에서 $\mathbb{C}^2$. 이 설정 이후$SU(2)$ 특정 벡터라고 부를 수있는 스피너 표현을 제공합니다. $\mathbb{C}^2$ '스피너'맞죠?
그러나 여기서 스피너의 회전은 무엇입니까? 임의의 스피너를 사용한다고 가정 해 보겠습니다.$s \in \mathbb{C}^2$ 일정한 각도로 특정 축을 중심으로 '회전'을 수행하려는 경우 $\phi$. 어떤 개체$SU(2)$ 소위 '회전'을 나타내며 스피너에 대한 이러한 작업을 '회전'이라고하는 이유는 무엇입니까?
답변
스피너의 회전 $\psi$ (복소수 2- 벡터처럼 보임) 각도로 $\phi$ 단위 축 주위 $\hat n$ 하지만 $$ \psi \mapsto e^{i {\phi\over 2} \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi= \left (I\cos {\phi\over 2} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi , $$ 어디 $\vec \sigma$ 이중선 표현에서 회전 생성기의 두 배인 세 개의 파울리 행렬입니다.
2π 회전이 기호를 뒤집는 것과 그 두 배가 정체성에 해당하는 것을 볼 수 있습니다.
Pauli 및 Dirac 행렬은 각각 3d Euclidean 공간 및 3 + 1d Minkowski 공간 의 Clifford 대수 의 기저 벡터입니다 . 스피너를 이해하려면 클리포드 대수를 이해해야 할 것입니다.
Clifford 대수학에서 원점을 통한 반사는 단위 벡터로 표현됩니다 (거울의 표면 법선이라고 생각). 대수적 곱은 반사를 구성합니다. 벡터는 기본 벡터 공간에서와 마찬가지로 기본 벡터의 가중치 합으로 작성 될 수 있습니다. Pauli / Dirac 행렬 표현에서 Pauli / Dirac 행렬은 기본 벡터입니다 ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$.
모든 회전은 짝수 반사의 곱으로 쓸 수 있습니다. 3d 유클리드 공간에서 짝수 단위 벡터의 클리포드 곱은 단위 쿼터니언과 동형 인 대수의 부분 공간에 있습니다. 3 + 1d Minkowski 공간에서 부분 공간은 단위 biquaternions 와 동형 입니다.
거울에서 벡터를 반사하려면 표면 법선의 Clifford 표현 (그리고 아마도 $-1$). 대수에 대한 반성 해석에서 이것이 의미가 있음을 확신 할 수 있습니다. 벡터를 회전하려면 적절한 짝수 곱으로 켤레를 만듭니다. 역순은 동일한 곱이됩니다.
스피너는 반사 / 회전의 동일한 표현으로 곱셈에 의해 변형되지만 둘 다가 아닌 한쪽에서만 변형됩니다.
스피너에 대한 일반적인 기하학적 이해는 열린 문제라고 생각합니다. 그러나 적어도 낮은 차원 (아마 3 + 1 포함)에서는 스피너의 클리포드 표현 자체를 "표준 스피너 방향"에서 실제 방향으로의 회전이라고 생각할 수 있습니다. 따라서 스피너를 회전하는 것은 다른 회전으로 표현을 구성하는 것을 의미합니다.
원래 방향으로 돌아 가기 위해 720 ° 회전이 필요한 근본적인 이유는 두 개의 거울을 통해 반사되기 때문입니다. $θ$ 떨어져 개체를 회전 $2θ$. 거울을 180 ° 회전하면 거울의 평면은 원래 위치로 돌아 오지만 표면 법선은 반대 방향을 가리키며 따라서 회전을 벡터의 곱으로 표현하면$-1$.
당신이 직관에 대해 묻기 때문에 내 대답은 그 방향이 될 것입니다. 회전을 벡터와 정신적으로 연결해서는 안됩니다.$\mathbb{R}^3$. 대신 그룹과 연결해야합니다.$SO(3)$. 또한, 당신은 생각해야$SO(3)$ 집합이 아닌 추상 그룹으로 $3\times 3$행렬. 3x3 행렬의 집합은 3 차원 실제 공간에서 그룹을 단순히 표현한 것입니다. 이것은 공간의 방향이 3 개의 실제 자유도를 갖는 고전 물리학에서 유용합니다.
그러나 분명히이 세상에는 고전적인 세계에서는 익숙하지 않지만 그럼에도 불구하고 매우 물리적 인 자유도가있는 것들이 있습니다. 전자의 스핀 자유 도와 같은. 이것들은 스피너 ($\mathbb{C}^2$) 및 벡터가 아닙니다. $\mathbb{R}^3$.
이제 물리학에서 우리는 선형화와 테일러 확장을 좋아합니다. 그들은 당신에게 선형적인 것을 제공하고 이것들은 작업하기 쉽습니다. 따라서 변환과 회전에 대해 이야기하는 대신 테일러 확장에서 첫 번째 파생물에 대해 생각하고 싶습니다. 즉, 선형 속도와 각속도 (운동량과 각운동량에 비례 함). 각속도를 (의사) 벡터로 인식 할 수 있습니다.$\omega_i$, 그러나 실제로는 동등하고 때로는 각속도를 3x3 비대칭 행렬로 표현하는 것이 더 편리합니다. $W_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$. 그런 비대칭 행렬을 지수화하면 어떤 일이 발생하는지 알 수 있습니다.$SO(3)$유한 회전을 구성하는 행렬. 더 정확하게는 고전 역학에서 (푸 아송 대괄호와$L_z$ z 방향의 각운동량) : $R_\phi = e^{\{\phi L_z, \cdot\}}$
Quantum Mechanics에서 스핀 자유도의 경우 z 방향의 각운동량 연산자가 $\mathbf{\frac{1}{2}}\sigma_z$. 절반을 주목하십시오. 각도 별 2x2 복소 회전 행렬$\phi$ z 축 주위는 $R_\phi = e^{i\phi\frac{1}{2}\sigma_z}$. 그 절반은 결국 절반 각도 인수의 절반으로 이어지는 것이고$720^\circ$장난. 물리적으로 이것은 이것들에게 일어나는 일입니다$\mathbb{C}^2$ 회전 자유도.
개인적으로 그다지 놀랍지는 않습니다. 전자 스핀의 자유도는 회전에 따라 어떻게 든 변형됩니다. 반사 아래에서 재미있게 벡터 변환으로 표현 된 각속도 3 자유도이지만 깊이는 없습니다. 예를 들어 물체의 질량이나 온도는 회전 중에 전혀 변형되지 않습니다. 전자 스핀 자유도는 회전에 따라 재미있게 변형되는데, 이것이 놀라운 이유입니다.