시퀀스 수렴 표시

Question

무한 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. $n$-튜플 :

$$f_1 = (a_{11},\space a_{12},\space ... , \space a_{1n})$$ $$f_2 = (a_{21},\space a_{22}, \space ... ,\space a_{2n})$$ $$f_3 = (a_{31}, \space a_{32}, \space ... , \space a_{3n})$$ $$\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots$$

또한 "$k^{th}$ 수직 시퀀스 "즉, $k^{th}$ 각 시퀀스의 요소 즉 $(a_{1k}, \space a_{2k}, \space a_{3k}, ... )$ 실수로 수렴 $a_k$, 그리고 이것은 모든 정수를 의미하는 모든 "수직"시퀀스에 해당됩니다. $k$ 와 $1 \leq k\leq n.$

그런 다음 다음 측정 항목에서 $$ d((b_1, b_2,...), (c_1, c_2, ...)) = \sup_k \space\{|b_j - c_j|\}$$ 순서 $n$-튜플 $f_1, f_2, ...$ 수렴 $ f = (a_1, a_2, ...)$:

시퀀스 이후 $(a_{1k}, \space a_{2k}, \space a_{3k}, ... )$ 수렴 $a_k$, 주어진 $\epsilon > 0 ,$ 양의 정수가 있습니다 $N_k$ 모두를 위해 $m \geq N_k$ $$|a_{mk} - a_k| < \epsilon$$

허락하다 $N = \max\{N_1, N_2, ... N_n\}$.

그런 다음 주어진 $\epsilon > 0$, 모든 $m \geq N$, 모두 $\textbf{k} \in \{1, 2, ..., n\}$ $$|a_{mk} - a_k| < \epsilon $$

따라서, $$\sup_k \space \{|a_{mk} - a_k|\} <\epsilon$$

따라서 모두를 위해 $k \geq N$, $$d(f_k, f) < \epsilon$$

그래서 $\{f_k \}$ 수렴 $f$.

질문 : 내 질문은 유한 대신에$n$-튜플, 우리는 각각 $f_k$ 무한 시퀀스입니다.이 증명을 수정하여 $f_k$ 수렴하다 $f$?

즉, 다음과 같은 무한 시퀀스의 무한 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다.

$$f_1 = (a_{11},\space a_{12},\space ... )$$ $$f_2 = (a_{21},\space a_{22}, \space ... )$$ $$f_3 = (a_{31}, \space a_{32}, \space ... )$$ $$\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots$$

우리가 "하자"라고 말할 수 없기 때문에 문제가있는 것 같습니다. $N = \max \{N_1, N_2, ...\}$"무한 세트가 될 것이기 때문입니다.

이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까? 아니면 그 진술이 사실이 아닌가?

Answer 1

반례 : 함께 $$ f_1 = (1, 1, 1, 1, \ldots) \\ f_2 = (0, 1, 1, 1, \ldots) \\ f_3 = (0, 0, 1, 1, \ldots) \\ f_4 = (0, 0, 0, 1, \ldots) \\ \vdots $$ "열 단위"수렴이 $$ f_0 = (0, 0, 0, 0, \ldots) \\ $$ 그러나 $$ d(f_j, f_0) = \sup_k |f_{jk} - f_{0k}| = 1 $$ 0으로 수렴하지 않습니다.

비고 : 다음 과 같은 다른 메트릭으로$$d(f, g)=\sum^\infty_{n=k}\frac{1}{2^k}\frac{|f_k-g_k|}{1+|f_k-g_k|} $$ 각 구성 요소의 수렴은 다음에 대한 수렴과 같습니다. $d$, 예를 들어 수렴에 대한 참조$d_1(x,y)=\sum^\infty_{i=1}\frac{1}{2^i}\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|}$점별 수렴과 동일합니까? .