subadditivity 보조제에 대한 질문

Question

subadditivity 기본형 은 이 페이지 를 참조하십시오 .

요컨대, 음이 아닌 시퀀스 $(a_n)$ 다음과 같은 경우 하위 부가 적이라고합니다. $a_{n+m}\leq a_n+a_m$ ...에 대한 $n,m\geq 1$. subadditivity 기본형은 다음과 같이 말합니다.$(a_n)$ 음이 아니고 하위가됩니다. $a_n/n\to \inf\{a_n/n\}$.

링크의 증명은 특정 정리를 사용하지 않습니다. 그러나 수열이 무한대로 수렴함에 따라 단조 수렴 정리를 사용할 수 있는지 궁금합니다. 이미 제한되어 있으므로 (음수가 아님) 감소하는 경우에만 표시하면됩니다.

하지만 가지고 $a_n/n\leq a_{n-1}/(n-1)\iff(n-1)a_n\leq na_{n-1}$,

우리는 subadditivity를 사용해야합니다 : $(n-1)a_n\leq(n-1)(a_{n-1}+a_1)=(n-1)a_{n-1}+(n-1)a_1$.

그것은 우리가 $(n-1)a_1\leq a_{n-1}$,하지만 우리는 $a_{n-1}\leq (n-1)a_1$ 부가 산성에 의해, 그래서 유일한 경우는 $a_{n-1}=(n-1)a_1$.

만약 $a_{n-1}<(n-1)a_1$, 그러면 우리는 $(a_n/n)$감소하고 있습니다. 하지만 감소하려면$a_n/n<a_1$ 일부에 $n$ 이후 $a_1$ 상한입니다.

여기서 어떻게 진행해야합니까?

Answer 1

아니요, 단조 수렴 정리를 사용할 수 없습니다. $(a_n/n)$ 부분 가산 시퀀스에 대해 반드시 감소하는 것은 아닙니다. $(a_n)$. 간단한 반례는$$ a_n = 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots $$ 하위 부가적인 이유는 $$ a_{n+m} \le 2 = 1 + 1 \le a_n + a_m $$ 모든 $n, m$. 그러나$$ \frac {a_n}{n} = 1, 1, \frac 13, \frac 12, \frac 15, \frac 13, \ldots $$ 감소하지 않습니다.