수렴 분석에서 유도의 적용은 반복적으로 정의 된 시퀀스입니다.
허락하다 $\left\{a_{n}\right\}$ 재귀 적으로 정의된다 $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ 결정 $a_{1}$ 시퀀스가 수렴되고 수렴의 경우 한계를 찾습니다.
내 방법 : 참고$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ 그래서 먼저 $a_{n}$. 이제 패턴을 찾으려고했지만 찾을 수 없습니다. \ begin {eqnarray *} n = 1 & \ implies & a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1)-(3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2})-(3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \ implies & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left (\ frac {1} {4- 3a_ {1}} \ right)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1})-3} \\ \ vdots & \ implies & \ vdots \\ \ end {eqnarray * } 내가 안다면$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, 그래서 나는 다음과 같은 결론에 대한 분모를 분석 할 수 있습니다. $a_{n}$ 정의되지 않았습니다.
찾을 수있는 방법 $a_{n}$?
또한 나는이 문제가 여기 에 답변되었다는 것을 안다 . 하지만 우리는 귀납법을 사용하여 기초적인 해결책을 찾을 수 있다고 생각합니다.$n$.
답변
시퀀스가 수렴하는 경우 $L$, 재발의 양쪽에 제한을두면
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
또는 $3L^2-4L+1=0$. 2 차 요인은 다음과 같습니다.$(3L-1)(L-1)=0$이므로 가능한 한도는 $L=\frac13$ 과 $L=1$.
분명히 시퀀스는 다음과 같은 경우 정의되지 않습니다. $a_1=\frac43$ 그리고 상수 $a_1=\frac13$ 또는 $a_1=1$.
- 만약 $a_k<1$, 다음 $1<4-3a_k$, 및 $0<a_{k+1}<1$.
- 만약 $a_k>\frac43$, 다음 $a_{k+1}<0$, 그래서 $0<a_{k+2}<1$.
- 만약 $1<a_k<\frac43$, 허락하다 $r=a_k-1$; 그때$0<3r<1$, 그래서 $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ 시퀀스에는 제한이있을 수 없습니다. $\left(1,\frac43\right]$, 그래서 그것은 $\frac43$ 죽거나 $a_\ell>\frac43$ 일부 $\ell>k$, 그리고 $a_n\in(0,1)$ 모든 $n\ge\ell+2$.
따라서 $a_1$ 실제로 무한하고 상수가 아닌 시퀀스를 생성합니다. 시퀀스는 $(0,1)$. 거기에서 무슨 일이 일어나나요?
- 만약 $\frac13<a_k<1$, 허락하다 $r=a_k-\frac13$. 그때$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ 그래서 $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ 과 $a_{k+1}<a_k$. 이 경우 시퀀스는 다음으로 수렴해야합니다.$\frac13$.
- 만약 $0<a_k<\frac13$, 허락하다 $r=\frac13-a_k$. 그때$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ 그래서 $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ 과 $a_{k+1}>a_k$. 다시 시퀀스는 수렴$\frac13$.
이제 우리는 $a_1=1$ 상수 시퀀스를 생성합니다. $a_k=1$ 모든 $k\ge 1$, 다른 모든 초기 값은 수렴하는 시퀀스를 생성합니다. $\frac13$ 또는 일부 때문에 결국 죽는 $a_k=\frac43$. 일부 초기 값을 결정하는 것만 남아 있습니다.$a_k=\frac43$.
해결 $y=\frac1{4-3x}$ ...에 대한 $x$, 우리는 $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$. 허락하다$b_1=\frac43$, 그리고 $k\ge 1$ 허락하다 $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. 유도로 쉽게 보여줄 수 있습니다.$k$ 그 $a_k=\frac43$ 경우에만 $a_1=b_k$, 그래서 $\{b_k:k\ge 1\}$ 수렴 시퀀스를 생성하지 않는 초기 값 집합이며 숫자에 대한 닫힌 형식을 찾는 것만 남아 있습니다. $b_k$.
우리가 쓰면 $b_k$ 분수로 $\frac{c_k}{d_k}$, 다음
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
그래서 $c_{k+1}=4c_k-d_k$, 및 $d_{k+1}=3c_k$, 초기 조건 포함 $c_1=4$ 과 $d_1=3$. 그때$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$, 그래서 유도에 의해 $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ 모든 $k\ge 1$. 그것은 다음과 같습니다$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$. 재발 해결$c_{k+1}=3c_k+1$ 초기 값으로 $c_1=4$ 어떤 표준 방법 으로든
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
따라서
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
그래서
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
업데이트 : 통찰력을 주신 Brian M. Scott에게 감사드립니다.
일부 경우 추가하겠습니다 $a_k=\frac 43$. Brian에 따라 우리는 시퀀스를 풀어야합니다.$b_k$ 그런 $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. 비슷한 방식으로 해결할 수 있지만$b_1$ 주어진다.
참고 $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
에서 $(1)$ 우리는 결론을 내린다 $b_k>\frac 13, \forall k$ 유도를 통해.
그때 $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
따라서 $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ 이는 Brian의 결과와 동일합니다.
원래 답변 :
이후 $1$ 과 $\frac 13$ 특성 방정식의 뿌리 $x=\frac{1}{4-3x}$, 우리는
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
그래서 만약 아니라면 $a_n = \frac 13$ 당신은 가지고
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
물론 당신은 $a_1=\frac 13$.
기능 정의 $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ 참고 $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ 다음에 대한 두 가지 시퀀스를 고려하십시오. $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ 과 $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ 어디 $q_0=\pm\infty$.
참고 $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ 어디서, $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ 간격 정의 $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ 어디 $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ 과 $Q_0=\left(-\infty,0\right)$:
위의 애니메이션에서 실선 빨간색과 녹색 선은 $P_n$ 과 $Q_n$. 화살표는 점선 간격을 가리 킵니다.$P_{n+1}$ 과 $Q_{n+1}$. 간격은 다음과 같은 경우 빨간색입니다.$f(a)\lt a$ 해당 간격에 녹색 $f(a)\gt a$; 이러한 간격은$(2)$.
이후 $f'(a)\gt0$ 제외하고 $q_{-1}=\frac43$ (사이에 $Q_{-2 }$ 과 $Q_{-1}$), 우리는 bijections가 있습니다 $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ 이후 $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ 과 $(8)$ 제외하고 모든 점에 대해 $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$, 반복 $f$ 수렴하는 시퀀스를 생성합니다. $\frac13$ (사람은 심지어 $q_{-\infty}=1$).
힌트 : If $a_1<1$,보기 쉽다 $a_n<1$ 그런 다음 $b_n=a_n-\frac13$. 만약$a_1\in(1,\frac43)$,보기 쉽다 $a_n\in(1,\frac43)$ 그런 다음 $b_n=a_n-1$. 나머지는 할 수 있습니다.
유도없이 .
여기에 설명 된 단계를 따르면 이 질문에 답하여 이야기를 짧게 만들었습니다.$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
이제 @Brian M. Scott의 멋진 분석 결과에 도달하기 위해 다양한 사례를 고려해야합니다.