수렴 $\frac{z^{n}}{n}$ 에 $\mathbb{C}$

Question

나는 여부를 확인하려고 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{z^{n}}{n} = 0$ ...에 대한 $z \in \mathbb{C}$어려움이 있습니다. 우리가 그것을 보여줄 필요가 있다는 것을 압니다.$\left | \frac{z^{n}}{n} \right| = \frac{|z|^{n}}{n} < \epsilon,$ 하지만 제한하는 데 문제가 있습니다. $|z|^{n}$. 어떤 힌트라도 도움이 될 것입니다.

Answer 1

만약 $|z|\leqslant1$, 다음 $0\leqslant\left|\frac{z^n}n\right|\leqslant\frac1n$ 스퀴즈 정리를 적용 할 수 있습니다.

그렇지 않으면, $\lim_{n\to\infty}\frac{|z|^n}n=\infty$.

Answer 2

$\ln(n^a |z|^n)=a\ln(n)+n\ln(|z|)\sim n\ln(|z|)\quad$ 때문에 $\frac{\ln(n)}{n}\to 0$.

우리는 필요합니다 $|z|<1\iff \ln(|z|)<0$ 표현을 얻으려면 $\to -\infty$ 과 $|z|^n\to 0$, 그리고 당신은 $a$ 실제로 중요하지 않은 경우 (양수 또는 음수가 될 수 있음) 지수는 항상 다항식 요인보다 우세합니다.

만약 $a<0$ 당신은 또한 추가 할 수 있습니다 $|z|=1$ 수렴 집합에서.

에 대한 $n!$ 계승에 몇 가지가 있기 때문에 이것은 다릅니다. $n^n$ 성장, 즉 $\quad n!\ge \left(\frac n3\right)^n$

그러므로 $\dfrac{|z|^n}{n!}\le \left(\frac{3|z|}{n}\right)^n\to 0$ 모든 값에 대해 $z$.