수렴 및 후속 인수로

Question

이것은 수렴과 후속 논쟁에 관한 질문입니다.

허락하다 $\{X_t\}_{t>0}$ 확률 공간에 정의 된 실제 가치 확률 과정 $(\Omega,\mathcal{F},P)$. 우리는$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ 확률 적으로.

허락하다 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ 다음과 같은 양수의 시퀀스 $t_n \downarrow 0$ 같이 $n \to \infty$, 및 $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 의 하위 시퀀스 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$. 때문에$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ 확률 적으로 우리는 하위 시퀀스가 ​​있습니다. $\{t_{n_{k_l}}\}_{l=1}^{\infty}$ 의 $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 그런 $\lim_{l \to \infty}X_{t_{n_l}}=0$ $P$-같이

그러나 이것은 $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$-수렴이 일반적으로 측정 될 수 없기 때문입니다. 그런 다음지도가$t \mapsto X_t$ 연속적이다 $P$-같이

이 경우 우리는 $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$-같이 ?

나는 이것이 올바른 주장이라고 생각합니다. 증거를 아십니까?

Answer 1

사실이 아니다. 허락하다$(Y_n)$확률 적으로 수렴하지만 거의 확실하지 않은 시퀀스입니다. 허락하다$X_t =Y_n$ 언제 $t=\frac 1 n$ 그리고하자 $X_t$ 선형 그래프가 $[\frac 1 {n+1},\frac 1 n]$ 각각 $n$. 이후$|X_t| \leq \max \{|X_{\frac 1 {n+1}}|,|X_{\frac 1 n}|\}$ 우리는 그것을 본다 $X_t \to 0$확률 적으로. 취하다$t_n=\frac 1 n$. 그때$X_{t_n}\equiv Y_n$ 거의 확실하지 않습니다.