특정 함수에서 다항식과 도함수의 비율

Question

허락하다 $p(x)$ 차수의 다항식이다 $n>2$, 뿌리 $x_1,x_2,\dots,x_n$(다중도 포함). 허락하다$m$양의 짝수 여야합니다. 다음 매핑 정의$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

질문. 에 대한$\deg p(x)=n>2$ 과 $p'(x)$ 그 파생물, 표현할 수 있습니까 $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ 의 기능으로 $m$ 과 $n$ 혼자?

말. Fedor의 질문에 따라 제가 방금 계산 한 (증명되지 않은) 쇼케이스로$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

여기에 함수 컴퓨팅 을 제공 하는 SageMath 코드 가 있습니다.V(m)$V_m(p)$ 기본 대칭 기능 측면에서 $x_1,\dots,x_n$ (즉, 계수 $p$).

예를 들어 $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, 다음 $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ 등등.

이 표현들로부터 $m=2$즉시 따라옵니다. 그러나 더 큰$m$ 비율 $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ 의 기능이 아닌 것 같습니다. $n$, 내가 계산적으로 테스트 한 $m$ 까지 $20$.

Answer 2

이것이 사실이라면 $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ 또한 $m$ 과 $n=\deg p$, 등등 우리가 얻을 때까지 $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. 우리는$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ 그래서 이것이 사실이라면 우리는 $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. 이것은 이미 거짓입니다$n=m=4$: 모든 뿌리 $p$ 0과 1, 우리는 $V_4=V_2$,하지만 $V_2^2/V_4=V_2$ 고정되지 않았습니다.