Transforming Observables, Misunderstanding Griffiths, Intro. QM 또는 다른 정의

Dec 28 2020

그리피스의 소개에서. QM 3rd, Sec. 6.2 , 관찰 가능 변환$Q$ 번역사에 의해 $T$ 발견된다 $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ 패리티 연산자도 동일 $\Pi$ 대신에 $T$ 우리는 $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.

그러나 다른 텍스트에서는 예를 들어 Tannoudji, QM, 2nd ed, Vol. I, 장 VI의 보완, 보완 B$_{VI}$, 5. 관측 물의 회전 , 그리고 여기 와 여기 에 다른 질문 에서 관측 물의 변형$A$ 단일 변형으로 $U$ 해야한다 $$ A' = UA\ U^\dagger $$ 어디 $U$내가 이해하는 바와 같이, 적극적인 변화 여야합니다. $T$위의 두 방정식이 동일해야한다고 예상했습니다. 그러나 두 정의가 동일하지 않은 것 같거나 실수가 있습니까?

추가됨

그리피스 정의 :

변형 된 연산자 $\hat Q'$ 번역되지 않은 상태에서 동일한 기대 값을 제공하는 연산자로 정의됩니다. $\psi$ 운영자는 $\hat Q$ 번역 된 상태로 $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$번역이 기대 값에 미치는 영향을 계산하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 실제로 파동 함수를 일정 거리 ( 활성 변환 이라고 함 )로 이동 하거나 파동 함수를 그대로두고 좌표계의 원점을 반대 방향 ( 수동 변환 ) 으로 같은 양만큼 이동할 수 있습니다. 운영자$\hat Q'$ 이 이동 된 좌표계의 연산자입니다.

식 사용. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$

Tannoudji 정의 :

시스템이 고유 상태라고 가정합시다. $|u_n\rangle$ 의 $A$: 측정 장치 $A$ 이 시스템에서 결과를 제공합니다 $a_n$틀림없이. 하지만 측정을 수행하기 직전에 회전을 적용합니다.$\scr R$물리적 시스템과 동시에 측정 장치에; 상대적 위치는 변경되지 않습니다. 결과적으로 관찰 가능한$A$ 우리가 고려하고있는 것은 우리가 회전 한 (즉, 회전하지 않은 다른 시스템이나 장치와는 독립적으로) 시스템에만 부착 된 물리량을 설명하며, 새 위치에서 측정 장치는 여전히 동일한 결과를 제공합니다. $a_n$틀림없이. 이제 회전 후 장치는 정의에 따라$A'$이고 시스템이 다음 상태에 있습니다. $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ 따라서 우리는 다음을 가져야합니다. $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ 그건: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$

참고 $\scr R$ 회전은 물리적 3 차원 공간이고 $R$ 힐베르트 공간에서 대표 연산자입니다.

답변

5 ValterMoretti Dec 29 2020 at 02:23

양자 물리학에서 관찰 가능한 것들 에 대한 대칭 의 ( 활성 ) 동작을 정의 할 때 서로 다른 수학적 속성을 가진 물리적으로 다른 두 가지 아이디어 가 있습니다.

받는있어서, 그 가정 위그 정리 ,$U$ 상태 벡터의 단일 또는 반 단일 변환입니다. $\psi$양자 시스템의 상태에 대한 능동적 행동에 해당합니다.

만약 $A$관찰 가능하고, 이중 행동이 있습니다 .$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$그리고 역 듀얼 액션 $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$

전자는 변경되지 않은 상태에 대한 결과에 대한 영향이 변경되지 않은 관측 가능 항목에 대한 변경된 상태의 결과와 동일하도록 물리적 측정 도구에 대한 조치의 의미를 가지고 있습니다. 즉, 시스템을 번역하는 대신$x$, 나는 함께 악기를 번역 $-x$.

후자는 측정 결과에 관한 한 시스템에서 대칭의 동작을 취소하는 측정 도구에 대한 동작의 의미를 갖습니다.

이러한 사실에 대한 증명은 기본 QM 형식주의 (마지막 참고 참조)에서 사소한 것입니다 .

대칭 그룹의 작용을 논의 할 때 근본적인 수학적 차이가 있습니다. $G$ 상태 벡터에서 단일 (또는 투영 단일) 표현으로 표현 $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ 평소와 같이 (최대 단계) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ 어디 $\circ$ 제품은 $G$ 과 $e$정체성 요소입니다. 지금부터는 속기 사용$S_g := S_{U_g}$ 유사하게 $S^*$.

역 이중 동작은 다음의 적절한 표현을 정의합니다. $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ 듀얼 액션은 왼쪽 표현을 정의하는 반면 $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$하나 또는 다른 작업의 사용은 편의의 문제이며 물리적 해석에 따라 다릅니다. QFT에서 필드 관측 물에 대한 시공간의 등거리 그룹의 자연적 행동은 일반적으로 다음을 통해 구현됩니다.$S^*$.

참고 .

만약 $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ selfadjoint 연산자의 스펙트럼 분해입니다. $A$ 과 $U$ 단일 또는 반 단일 연산자입니다. $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ 즉, 스펙트럼 측정 $P^{(UAU^{-1})}(E)$ 의 $UAU^{-1}$ 그냥 $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.

따라서 결과가 $A$ 머물다 $E\subset \mathbb{R}$ 상태가 단위 벡터로 표현 될 때 $\psi$ 이다 $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ 상기 해석을 일으킨다 $S_U(A)$: 연기 $A$ 와 $S_U$ 고정 상태로 두는 것은 $\psi$ 와 $U$ 그리고 떠나 $A$ 변하지 않은.

특히 기대치에 관해서는 $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$

비슷하게, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ 상기 해석을 일으킨다 $S^*_U(A)$: 작업 $A$ 와 $S_U^*$ 의 행동을 취소합니다 $U$ 의 위에 $\psi$.