때이다 $3 x^2 + 2 x$ 광장

Question

허락하다 $x, y$양의 정수 여야합니다. 나는 언제 알고 싶다$3 x^2 + 2 x = y^2$ 해결책이 있습니다.

모두의 일부 열거를 통해 $x$, 시행 착오를 거쳐 모든 솔루션을 포함하는 것으로 보이는 다음 재귀를 발견했습니다.

초기 조건은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{l} x_0 = 0, x_1 = 2\\ y_0 = 0, y_1 = 4 \end{array}$$

재귀는 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{l} x_n = 8 y_{n - 1} + x_{n - 2}\\ y_n = 14 y_{n - 1} - y_{n - 2} \end{array}$$

이것은 Pell의 방정식과 유사한 것으로 보이며 여기에서 $x / y$ 일부 연속 분수 근사 $1 / \sqrt{3}$.

나는 수학적으로 모든 해를 찾는 방법을 잘 모르겠으며 이것이 실제로 모든 해를 산출한다는 것을 봅니다.

Answer 1

동시에 $3$ 얻기 위해 $9x^2+6x=3y^2$, 추가 $1$ 얻기 위해 $(3x+1)^2=3y^2+1$, 그래서 설정 $z=3x+1$ 당신은 얻을 $z^2-3y^2=1$, Pell 방정식.

해결할 수있는 대안 $x$ 얻기 위해 $\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3y^2+1}}{3}$, 그래서 당신은 $3y^2+1$ 정사각형이 되려면 $3y^2+1=z^2$.