$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Murphy의 책 "$C^*$-대수 및 연산자 이론 ":

확장 할 수있는 방법 $w_0$ 지도로 $w_1: H \to H$? 나는 우리가 먼저 확장하는 것 같아요$w_0$ 마감까지 $\overline{v^*(H)}$ 그리고 그것을 정의하십시오 $0$직교 보완에. 작동합니까?

또한 우리는 왜 $u = vw_1$? 이것은 명시 적 확장에 의존합니까?$w_0$ 또는 모든 제한된 확장에 대해 true입니까? $w_0$?

Answer 1

예, 언제든지 그렇게 할 수 있습니다. 한 번도 해본 적이 없다면 경계 선형 연산자가 도메인 폐쇄까지 연속적으로 확장 될 수 있음을 보여 주어야합니다. 그리고 분해하면$H=H_1\oplus H_1^\perp$ 과 $S,T$ 경계 연산자 $H_1$ 과 $H_1^\perp$ 각각 $S\oplus T$ 정의 $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ 제한된 연산자입니다. $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.