위에있는 경우에만 오른쪽 역

Question

다음과 같은 결과를 증명하려고 노력하고 있습니다.

증명 $f: X \to Y$오른쪽 역을 소유하는 경우에만 적용됩니다. 그런 다음이 역이 반드시 고유하지 않다는 것을 증명하십시오 (즉,$f$ 주사가 아닙니다).

여기에 제가 생각해 낸 것이 있습니다. 특히 저의 고유성 부족에 대한 "증거"는 그다지 엄격하지 않습니다.

증명. 가정$f: X \to Y$추측입니다. 허락하다$y \in Y$, 그래서 존재 $x \in X$ 그런 $f(x) = y$. 이건$x$ 고유하지 않을 수 있으며 매핑을 정의합니다. $g: Y \to X$ 규칙에 따라 $g(y) = x$, 선택의 공리를 사용합니다. 그러한 경우$y$ 그 속성으로 $g(y) = x$, 우리는 : $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ 그래서 $f \circ g = i_Y$, 및 $g$오른쪽 역입니다. 반대로$f$ 오른쪽 역을 가지고 $g: Y \to X$ 그 속성으로 $f \circ g = i_Y$. 허락하다$y \in Y$. 그때$g(y) = x$ 일부 $x \in X$. 그런 다음 우리는$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ 그래서 $f$추측입니다. 이 오른쪽 역은 정의하기 위해 선택의 공리를 호출해야했기 때문에 고유하지 않습니다.$g(y) = x$ 일부 $x$. 경우에$f$ 주 사용이 아닙니다. $y \in Y $, 잠재적으로 무한히 많은 $x$ 그런 $f(x) = y$, 우리는 정의 할 수 있습니다 $g(y)$ 그 x 중 하나와 같도록, 각각 똑같이 유효한 오른쪽 역을 제공합니다.

이 증거는 어떻게 보입니까? 이것이 적절한 선택 사용입니까? 고유성이 부족하다는 증거를 더 엄격하게 만드는 방법이 있습니까?

미리 감사드립니다.

Answer 1

당신의 증거가 나에게 꽤 좋을 경우에만. 그러나 귀하의 비 고유성 증명은 약간 어설픈 것입니다.

비고 유성을 증명하기 위해 예를 들어 보여 주면 충분합니다 (거의 항상 더 쉽습니다). 당신은 어떤 예를 만들 수 있지만 여기에 내 머리에 처음으로 온 것이 있습니다.

한다고 가정 $X=\mathbb{R}^2$ 과 $Y=\mathbb{R}$ 와 $f:X\to Y$ 존재 $f(x,y)=x$. 분명히이 기능은 켜져 있습니다. 이제 다음 맵을 정의하십시오.$S_1:Y\to X$ 으로 $S_1(x)=(x,0)$. 당신을 설득하는데 많은 시간이 걸리지 않아야합니다.$f(S_1(x))=i_Y$.

또한지도 $S_2:Y\to X$ 정의 $S_2(x)=(x,x)$ 또한 줄 것이다 $S_2(f(x))=i_Y$. 그러나$S_1\neq S_2$ 그래서 우리는 같지 않은 원하는 결과를 생성하는 두 개의 함수가 있음을 보여주었습니다 (따라서 역은 고유 할 필요가 없습니다).