역행렬 구조

Question

역행렬이 특별한 형태를 가지는 M 행렬의 구조를 알아 내려고합니다. Let $A$ 역 M 행렬 (역 행렬은 역이 M 행렬 인 행렬입니다. https://en.wikipedia.org/wiki/M-matrix) 행렬의 각 행 합계가 고정 상수 (1보다 큼)가되도록합니다. 각 대각선 항목은 해당 행의 모든 ​​비 대각선 항목보다 엄격하게 큽니다.$xa_{ii}\leq a_{ij}\leq ya_{ii} \forall i\neq j$, 어디 $0<x<y<1$. 나는 그것을 보여 주려고$A^{-1}$1보다 작은 양의 대각선 항목이있을 것입니다.
지금까지 왜 그런 결과가 사실인지에 대한 참조를 찾을 수 없었지만 반례도 얻을 수 없었습니다 (숫자 예제를 시도했습니다). 직관적으로, 매트릭스의 특수한 구조, 비 대각선 항목으로 인해 사실이라고 생각합니다.$A$서로 가깝기 때문에 역은이를 보상하기 위해 위의 구조를 갖게됩니다. 어떤 아이디어 나 제안도 정말 도움이 될 것입니다.

Answer 1

2 개의 반례가 있습니다.

1. 허락하다 $A= \begin{pmatrix}1.1 & 0.89\\0.89 & 1.1 \end{pmatrix}$, 다음 $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.6322 &-2.1297\\-2.1297 & 2.6322 \end{pmatrix}$.
   여기$x=0.8, y=0.9$, 그래서, $(0.8)(1.1)\leq 0.89\leq (0.9)(1.1)$.
   
2. 허락하다 $A= \begin{pmatrix}5.1 & 4.9\\4.9 & 5.1 \end{pmatrix}$, 다음 $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.55 &-2.45\\-2.45 & 2.55 \end{pmatrix}$.
   여기$x=0.94, y=0.98$, 그래서, $(0.94)(5.1)\leq 4.9\leq (0.98)(5.1)$.
   그래서 직감이 항상 연구에서 작동하는 것은 아니라고 생각합니다.