유한 필드의 고유성 $p^n$집단. [복제]

Question

유한 필드가 하나만 존재한다는 것은 잘 알려져 있습니다. $p^n$ 요소, 동형까지, 여기서 $p$ 프라임이고 $n \geq 1$.

허락하다 $n = m t$, 어디 $m, t > 1$.

그때 $F = Z_p[X]/(f(X))$ 필드입니다 $p^n$ 요소, 제공 $f$ 기약 할 수없는 차수의 다항식 $n$ 에 $Z_p$.

같은 의미로 $G = Z_p[X]/(g(X))$ 필드입니다 $m$ 요소 ($g$ 학위를 줄일 수없는 $m$). 그때$G$ 있다 $p^m$ 집단.

마지막으로하자 : $H = G[X]/(h(X))$ 어디 $h$ 기약 할 수없는 차수 다항식 $t$ 계수 포함 $G$.

이제 내 이해에 $F$ 과 $H$ 둘 다 가지고 $p^n$집단. 그래서 제 질문은 :

아르 $F$ 과 $H$ 동형?

Answer 1

이것은 필드 분할에 대한 일반적인 사실에 의존합니다.

허락하다 $F$ 필드이고 $f(X)\in F[X]$일원 다항식이어야합니다. 확장 필드$K$ 의 $F$A는 분할 필드 에 대한$f$ 만약

1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ 에 $K[X]$ (뿌리가 구별 될 필요는 없습니다);
2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

정리. 만약$K_1$ 과 $K_2$ 필드를 분할하고 있습니다. $f(X)\in F[X]$, 필드 동형이 존재합니다. $\varphi\colon K_1\to K_2$ 퇴거 $F$ 포인트 고정.

증거는 길고 Galois 이론에 관한 책에서 찾을 수 있습니다. 왜냐하면 그것은 그것의 기본 도구이기 때문입니다.

이제 다항식을 고려하십시오. $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, 어디 $\mathbb{F}_p$ 이다 $p$-element 필드 (고유 동형까지 고유함).

허락하다 $K$ 쪼개지는 분야이다 $f(X)$. 그때$f(X)$ 있다 $p^n$ 뚜렷한 뿌리 $K$ (왜냐하면 다항식의 미분은 $-1$). 반면에, 뿌리의 집합$f(X)$ 다음의 하위 필드입니다. $K$: 실제로, 만약 $a,b$ 뿌리라면 $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ 그래서 $a+b$ 의 뿌리입니다 $f$. 유사하게$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$상호를 확인하기 쉽습니다. 이후$0$ 과 $1$ 우리가 한 뿌리입니다.

그러므로 $K$ 이다 의 모든 뿌리의 세트$f$ 따라서 $|K|=p^n$.

반대로 $K$ 필드입니다 $p^n$ 요소, 이전과 동일한 인수는 $X^{p^n}-X$ 있다 $p^n$ 뚜렷한 뿌리 $K$, 그래서 $K$ 분할 필드입니다. $f(X)$.

동형까지의 고유성은 이제 위의 정리를 따릅니다.