Zn의 확률 생성 함수

Question

다음과 같은 확률 생성 함수가 주어지면 :

$G(s)=1-α(1-s)^β$

어디 $0≤α≤1$ 과 $0$ < $ β≤1$.

확률 생성 함수를 유도 할 수 있습니까? $G_n(s)$ 랜덤 변수의 $Z_n$ 일반적인 표기법으로 $G_n(s)=G(G_{n-1}(s))$ 따라서 다음에 대한 표현을 찾으십시오. $P(Z_n=0), P(Z_n=1)$ , 및 $P(Z_n=2)$ ?

나는 찾기를 시도했다 $E[Z]$ findng 프로필 $G'(1)$ 그러나 결국 $αβ(1-s)^{β-1}$ , 어디 $(1-s)$ 0이고 $\beta -1 ≤ 0$ 정의되지 않게합니다.

그러나 나는 궁극적 인 멸종 (이것을 분기 과정으로 취급)의 확률을 찾을 수 있었다. $\alpha$ 으로:

$G_n(0) = 1-\alpha ^{\frac{1- \beta ^n}{1-\beta}}$

그러나 그것이 PGF를 결정하는 데 어떻게 도움이 될지 모르겠습니다. $Z_n$ 및 각각의 확률.

Answer 1

유도 사용 $n$, 당신은 쉽게 얻을 $G_n(s)=1-\alpha^{(1-\beta^n)/(1-\beta)}(1-s)^{\beta^n}$ (독서 $1-\alpha^n(1-s)$ ...에 대한 $\beta=1$). 예상 값에 관해서는 올바른 결과를 얻었습니다. 이들은 존재하지 않습니다 (즉$\infty$) 만약 $\beta<1$.