2 urnas, bolas azuis e laranja
A urna 1 tem 1 bola laranja e 6 bolas azuis. A urna 2 tem 2 bolas laranja e 5 bolas azuis. Suponha que você tire 3 bolas de uma urna. Para decidir qual urna usar, você lança um bom dado de 6 lados. Retire da urna 1 se você lançar um número par, urna 2 se você lançar um número ímpar. Qual é a probabilidade de tirar exatamente uma bola laranja?
Eu entendo que você tem um $0.5$ chance de sacar da urna 1 e $0.5$ chance de desenhar da urna 2. Inicialmente, desenhei um diagrama em árvore para esta questão que me levou à resposta de $P(exactly\ 1\ orange) = 0.5(3/7 + 4/7)$. Meu problema é a outra solução que envolve combinações.
$$P(1\ orange | Urn_1) = \frac{6 \choose 2}{7 \choose 3} = 15 / 35 = \frac{3}{7}$$ e $$P(1\ orange | Urn_2) = 2 \left(\frac{5 \choose 2}{7 \choose 3} \right) = 20/35 = 4/7$$
Minha mente simplesmente não consegue entender por que isso funciona. Tenho um diagrama de árvore na minha frente, onde calculo manualmente cada uma das opções, mas não consigo relacionar as duas.
Eu sei que no final você apenas faria $$P(1\ orange) = 0.5 \left(P(1\ orange | Urn_1) + P(1\ orange | Urn_2) \right) = 0.5$$
Respostas
Acho que a maneira como você escreveu os dois casos torna mais difícil ver a regra. Se você está tirando três bolas e quer exatamente$1$deles ser laranja, os outros dois devem ser azuis. Ao desenhar de uma urna com$N_o$ bolas de laranja e $N_b$ bolas azuis, então, você pode escolher a única bola laranja em $N_o$ maneiras e as bolas azuis em ${N_b}\choose{2}$maneiras; para obter a probabilidade, o produto destes deve ser dividido pelo número total de maneiras de escolher$3$ bolas, que é ${N_o+N_b}\choose{3}$: $$ P=\frac{N_o\cdot{{N_b}\choose{2}}}{{N_o+N_b}\choose{3}}. $$ De modo mais geral, se você quiser encontrar a probabilidade de desenhar exatamente $n_o$ bolas de laranja e $n_b$ bolas azuis ao desenhar $n_o+n_b$ sem substituição, seria $$ P=\frac{{{N_o}\choose{n_o}}{{N_b}\choose{n_b}}}{{N_o+N_b}\choose{n_o+n_b}}. $$