$3^{123} \mod 100$

Você está realmente correto. Há, no entanto, uma pequena melhoria. Usando a função Carmichael , você pode argumentar que uma potência menor de$3$, a saber $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. A função de Carmichael de divide a metade da função de Euler totient quando o argumento é par e o Euler totient é um múltiplo de$4$, o que é verdade para $\lambda(100)$; portanto$3^{20}$ pode substituir $3^{40}$ no argumento.

Em um nível mais elementar, você pode renderizar $3^4=80+1$ e elevar ambos os lados à quinta potência, assim $3^{20}\equiv1\bmod 100$ como o Teorema Binomial para $(80+1)^5$ dá múltiplos de $100$ mais $1$.

Correto, uma solução alternativa:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

Corrigir! Eu acredito que sua lógica é correta. Até onde posso ver, esta é uma aplicação correta da generalização de Euler do teorema de Fermat.$\phi(100) = 40$ e assim $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Se você precisar de mais convencimento, basta inserir $3^{123}$ para dentro https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Novamente, não é realmente necessário, mas se você precisava de uma prova concreta, aí está.

O OP começou procurando um padrão, mas afirmou que

... apesar de muita inspeção dolorosa, não produziu um padrão útil óbvio.

Você pode usar alguma teoria da luz para realmente prever a forma e a estrutura do padrão.

Observe que se $a \in \{0,2,4,6,8\}$ e $b \in \{1,3,7,9\}$ e

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

então na verdade $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ e $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Este é o nosso principal padrão (teórico) e

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

É fácil verificar se o dígito das unidades se moverá

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

dentro de cada um desses quatro ciclos.

Considerando que $3$é uma unidade , podemos argumentar que um desses$4$- as bicicletas terminarão em

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

e que nenhuma repetição é possível até que a identificação seja alcançada.

Uma vez que o dígito das dezenas só pode percorrer o conjunto$\{0,2,4,6,8\}$, há no máximo cinco desses $4$-ciclos que devem ser calculados.

Calculando o $2^{nd}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Calculando o $3^{rd}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Calculando o $4^{th}$ $4$-ciclo:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Neste ponto, realmente não temos que calcular o $5^{th}$ $4$-ciclo já que sabemos que tem que ser o último.

Agora podemos usar o fato de que

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

e resolva os detalhes restantes para a pergunta do OP.