4x4 grid equations versão 2

Question

Decidi fazer mais um destes, porque são divertidos e este é bastante diferente.

Você pode colocar todos os números de 1 a 16 nas células, de forma que as 8 equações a seguir sejam válidas? Observe que o operador "/" só funciona para a divisão de não resto, ou seja, você pode ter "8/4", mas não "8/3". Como de costume, a multiplicação e a divisão são realizadas antes da adição e subtração. Boa sorte!

Answer 1

Solução:

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&12&/&2&=&16\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&6&/&3&=&8\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Raciocínio:

$\begin{matrix}\diamond\ast&+&\diamond&+&\diamond&=& \\\times&&-&&+&&-\\\ast&+& &/&\bigcirc&=& \\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\ &/&\bigcirc&+& &=& \end{matrix}$

Notamos que todos os denominadores devem ser $\le8$ ("pequeno", marcado $\bigcirc$) como deve ser a2 (em coordenadas de tabuleiro de xadrez) porque $b2/c2 \ge 2$ e pelo menos dois daqueles marcados $\diamond$ e pelo menos um daqueles marcados $\ast$. Como apenas 8 pequenos números estão disponíveis, a4 deve ser pequeno e um de b4, c4. Todos os outros devem ser$>8$ ("grande", marcado $\Box$):

$\begin{matrix}\bigcirc&+&\Box\bigcirc&+&\Box\bigcirc&=&\Box\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&\Box&=&\Box\end{matrix}$


e vemos que a4 deve ser $1$

Observe aquilo $d4 = d3/d2 + a1/b1 + c2\times c3 + c4 \ge 2 + 2 + 2\times 3 + c4$ Portanto, c4 deve ser pequeno e b4 grande.

$\begin{matrix}1&+&\Box&+&\bigcirc&=&13\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&9\ldots 12&=&11\ldots 14\end{matrix}$

A seguir, vemos que $2$ deve estar em c2 ou c3:

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 11&+&3\ldots 6&=&14\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 4&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 4&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&10\ldots 12&=&12\ldots 14\end{matrix}$

Estamos quase terminando! Observe que nos produtos$a2\times b2 = c2\times d2$ os primos $5$ e $7$ não pode ocorrer porque eles estão disponíveis apenas uma vez.

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 10&+&5&=&15\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Podemos terminar preenchendo a coluna a,

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

linha 3 e, finalmente, linha 2.

Answer 2

Sejam os dígitos a1, a2, a3, ... d4, usando a notação algébrica padrão do xadrez (ou seja, letras = colunas, números = linhas, a1 = inferior esquerdo).

Defina um dígito inferior = 1-8, dígito superior = 9-16. As células, b1, a2, b2, c2, d2, c3 são todas baixas. A linha superior contém dois números baixos, caso contrário, d4> 16. Isso representa todos os oito números baixos e, portanto, a3 é alto. Logo, a4 = 1 para evitar a1> 16. Agora considere a cadeia c4 <c1 <d1 <d4. As diferenças mínimas são c1-c4> = 6, d1-c1> = 2, d4-d1> = 2. Logo descobrimos que a2, c2, c3 deve ser alguma permutação de 2,3,4. Portanto, c4 é pelo menos 5 e d4 é pelo menos 15.

Como 13 é primo, ele deve estar em a3 ou d1. Mas se a3 = 13 então a1, d3, d4 são 15 ou mais, contradição. Portanto, d1 = 13, c1 = 11, c4 = 5. Temos um par 2,3 em c2, c3 então a2 = 4. Portanto, d2 = 8 e d3 = 16. Como b2 / c2 = 2, temos 4 * 6/3 = 8 na linha 3 e o resto é fácil