A aceleração da Terra depende de sua massa?

Question

Suponhamos que uma maçã esteja caindo em direção à Terra.

• Da lei da gravitação universal de Newton: a força exercida na Terra pela maçã é$$F = \frac{GM_1 M_2 }{r^2}$$

• Da segunda lei de Newton: a força exercida na Terra pela maçã é$$F =\underbrace{M_1}_{\rm Earth's\ mass} \times \underbrace{a}_{\rm Earth's\ acceleration}$$

então $$M_1 × a = \frac{G M_1 M_2} {r^2} $$

O resultado é que $$ a = \frac{GM_2}{r^2}$$

Este resultado é um dilema para mim porque:

1. Isso indica que a aceleração da Terra devido à gravidade não depende da massa da Terra!

2. Por outro lado, muitas referências dizem que a aceleração é inversamente proporcional à massa, portanto, A aceleração da Terra depende de sua massa!

Espero que alguém me ajude a superar esse dilema.

Answer 1

A força exercida na maçã pela Terra é igual à força exercida na terra pela maçã.
Porque F = ma, e porque a massa da maçã é muito menor do que a massa da Terra, a aceleração da maçã é muito maior do que a aceleração da Terra (mas é claro na direção oposta).

Seu erro pode ser evitado se você ignorar a força e apenas calcular as acelerações. A aceleração da maçã é proporcional à massa da Terra; a aceleração da Terra é proporcional à massa da maçã. Afinal, a gravidade acelera as massas livres; ele exerce forças sobre as massas apenas indiretamente.

Answer 2

Para uma dada força agindo sobre um objeto, a aceleração desse objeto será inversamente proporcional à sua massa. Mas, no caso da gravidade, a força também depende da massa, então se você muda a massa também muda a força, de forma que a aceleração do objeto devido a outra massa seja independente de sua própria massa. Não há contradição com a primeira afirmação porque a força não é mais a mesma, você a está mudando quando muda a massa do seu objeto.

Answer 3

Depende da massa da Terra e por causa dessa dependência que você obteve uma aceleração tão pequena da Terra, apesar de uma força suficiente atuando na Terra.

E a aceleração ainda é inversamente proporcional à massa, uma vez que

$$a = \frac{F}{m}$$

E o que você fez acima é que apenas cancelou a missa no $F$ termo com aquele no denominador.

A Terra acelera, mas você pode calcular seu valor, é muito pequeno em comparação com a aceleração da maçã porque

$$a_{earth} = \frac {GM_{apple}}{r^2}$$ e

$$a_{apple} = \frac{GM_{earth}}{r^2}.$$

Aqui, as massas da terra e a maçã fazem a diferença.