A função no domínio do Laplaciano é contínua

Question

Deixe o domínio do Laplaciano $D(\Delta)\subset L^2(\mathbb{R}^n)$ ser dado por $$D(\Delta)=\{\psi\in L^2(\mathbb{R}^n):|k|^2\hat\psi(k)\in L^2(\mathbb{R}^n)\}$$ Onde $\hat\psi$ denota a transformada de Fourier de $\psi$. Assuma também que$n\le3$. Mostre que cada$\psi\in D(\Delta)$ é contínuo.

Há uma dica que diz para mostrar que $\hat\psi$ é $L^1$ escrevendo-o como um produto de $L^2$funções (ou seja, usar a desigualdade de Holder). Meu primeiro pensamento foi usar o fato de que$|k|^2\hat\psi(k)\in L^2(\mathbb{R}^n)$. No entanto, escrevendo$$\int_{\mathbb{R}^n}|\hat\psi(k)|dk=\int_{\mathbb{R}^n}\bigg|\frac{1}{|k|^2}|k|^2\hat\psi(k)\bigg|dk$$ encontramos o problema que $\frac{1}{|k|^2}$ não está em $L^2(\mathbb{R}^n)$. Então, como alguém mostra isso$\hat\psi\in L^1(\mathbb{R}^n)$?

Answer 1

Acho que tenho uma solução. Uma vez que a transformada de Fourier é unitária, temos$\|\hat\psi\|_2=\|\psi\|_2$. Portanto,$\hat\psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$. então$$\int_{\mathbb{R}^n}|\hat\psi(k)|dk=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{\sqrt{1+k^4}}\sqrt{1+k^4}|\hat\psi(k)|dk$$ $$\le\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{1+k^4}dk\int_{\mathbb{R}^n}(1+k^4)|\hat\psi(k)|^2dk$$ $$=(\|\hat\psi\|_2^2+\|k^2\hat\psi(k)\|_2^2)\int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{1+k^4}dk<\infty$$