A linha vertical é injetiva?
Praticamente apenas o título. Obviamente, uma linha vertical não é uma função (não passa no teste da linha vertical), mas tecnicamente ela passa no teste da linha horizontal para injetividade. Mas, eu pensei que um mapa injetivo precisava ter saídas distintas correspondentes a entradas distintas, o que uma linha vertical não tem (várias saídas y para nossa entrada x). Ou um mapa injetivo também tem que ser uma função por definição?
Respostas
Como você notou, uma linha vertical não é uma função e, portanto, não faz sentido discutir a injetividade para ela, que é definida usando precisamente o conceito de mapa, ou seja,
$$f(a)=f(b) \implies a=b$$
Em certo sentido, também poderíamos afirmar que a linha vertical é sobrejetora, mas também essa afirmação não tem sentido pela mesma razão.
Consulte também
- O que exatamente é uma função?
A injetividade, assim como a sobrejetividade, é uma propriedade das funções e, como você notou, a linha vertical não é o gráfico de uma função. Dito isso, posso definir uma função que tem a imagem de uma linha vertical por uma função de$\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}^2$ parametricamente por $x = c, y = t$ com $c$ uma constante real e $t$uma variável real. Nesse contexto, a linha seria a imagem de uma função injetiva. Em vez disso, podemos usar$y=kt$ para algum real $k\neq 0$ e essa parametrização também será uma função injetiva com a mesma imagem, a linha vertical que passa $x=c$.
Acho que depende do que você define como "injetivo" para algo que não é uma função.
Pode-se argumentar que "injetivo" fala sobre mapeamentos e se algo não é uma função não faz sentido falar sobre ser injetivo. Justo.
Mas você também pode dizer que se $F \subset X\times Y$ então se $F$ tal que se $(a,w)\in F$ e $(b,w)\in F$ então isso só é possível $a=b$é uma definição válida de injetivo. Então, se a linha vertical é$F = \{(c,y)|y\in \mathbb R\}$ e se $(a,w)\in F, (b,w)\in F$ então $a=b=c$ independentemente do $w$então a linha é injetiva. É justo.
Mas pode-se dizer o latim para injetivo significa em, então isso significa que mapeamos tudo em. (Isso seria compatível com bijetivo = injetivo e sobrejetivo; seria difícil dizer que uma linha vertical é "bijetiva" quando para e$x \ne c$ não podemos ter nenhum $(x,\sim)$.) Então, precisamos disso, se não houver $(m,w)\in F$ para alguns $m \in X$ então $m$não está mapeado. portanto, a definição de injeção deve incluir esse aspecto. Então, como um subconjunto$\{c\}\times \mathbb R$ a linha é injetiva, mas como um subconjunto de $\mathbb R\times \mathbb R$não é. Nota: para esta definição de injetivo$F= \{(x,y)| x = \tan(y)\}$será injetivo, mas certamente não uma função. (Para qualquer$x$ haverá um $y = \arctan x$ então $(x, y)\in F$. E se$(a, y),(b,y) \in F$ então $a = b =\tan y$. Mas certamente não é uma função como$(x, \arctan x)$ e $(x, \pi + \arctan x)$ estão ambos em $F$ portanto, não temos a condição de entrada / saída única.)
Eu diria que, para todos os efeitos práticos, "injeção" se refere apenas a uma função e, se algo não for uma função, esqueça. Afinal, por que criar problemas.