A origem do Lagrangiano
É possível explicar a forma de Lagrangiana $L=T-V$ e princípio de ação da seguinte maneira?
A força que atua sobre uma partícula de massa é devido ao potencial $V(x)$. Essa força impulsiona a partícula para minimizar sua energia potencial. Também sabemos que a atração é uma forma negativa de energia potencial. Por outro lado, a Lei da inércia implica que a partícula de massa tende a dificultar a aceleração e assim minimizar sua energia cinética, mas isso aumenta a energia potencial via força. Durante um processo de movimento a partir do ponto$x_1$ apontar $x_2$ entre tempos $t_1$ e $t_2$, a partícula de massa tende a cada momento a minimizar a soma de sua energia potencial cinética e atrativa, ou seja, o termo $L=T-V$. Além disso, quando a integral deve ser extremada, não importa se escolhermos$L=T-V$ ou $L=V-T$.
EDIT : Também sabemos que um sistema mecânico dinâmico tende ao equilíbrio independente do tempo$T=V$. Se segurar isso$T \neq V$, então o estado de não equilíbrio é um sistema dinâmico que em qualquer intervalo de tempo tende a $T=V$, ou seja, para minimizar a ação. Agora vemos que se$T \neq V$, então o sistema claramente tem alguma ação de busca de equilíbrio !
Respostas
Como você assinalou: certamente o Lagrangiano deve estar capitalizando no fato de que, com toda interconversão de energia cinética e energia potencial, a diminuição e o aumento devem corresponder um ao outro .
Podemos reafirmar isso da seguinte forma:
Durante todo o tempo, a taxa de variação da energia cinética é igual à taxa negativa de variação da energia potencial:
Em notação matemática:
$$ \frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt} \qquad (1) $$
Claro, nesta equação o sinal de menos está lá porque a energia cinética e a energia potencial mudam na direção oposta.
Vou me referir a esta equação como a equação da energia . Para explicar a forma do Lagrangiano a equação da energia é essencial.
A animação abaixo consiste em 7 quadros, cada quadro é exibido por 3 segundos.
No subpainel superior esquerdo do diagrama combinado, a linha preta representa uma trajetória de teste. A animação percorre uma gama de variações de trajetória.
No sub-painel superior direito:
Gráfico vermelho: energia cinética
Gráfico verde: energia potencial menos
A trajetória de teste atinge a trajetória verdadeira quando o gráfico vermelho e o gráfico verde são paralelos um ao outro em todos os lugares.
Para comparar o gráfico da energia potencial (verde) foi invertido, expressando o sinal negativo.
O diagrama exibe as seguintes condições:
Duração total: 2 segundos (de t = -1 a t = 1)
Aceleração gravitacional: 2 m / s
Massa do objeto: 1 unidade de massa.
Com essas condições, a verdadeira trajetória é dada pela seguinte função que dá a altura 'h' em função do tempo:
$$ h(t) = -t^2 + 1 $$
A variação foi implementada da seguinte maneira:
$$ h(t, p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1) $$
Ou seja, a trajetória da tentativa é expressa em função de duas variáveis: o tempo e o parâmetro variacional p_v No diagrama, o valor (atual) do parâmetro variacional é exibido no "botão" do controle deslizante.
No subpainel inferior esquerdo:
Para valores do parâmetro variacional até zero, o gráfico verde muda mais rápido, e para valores do parâmetro variacional maior que zero, o gráfico vermelho muda mais rápido. O ponto em que os dois mudam na mesma taxa é quando o parâmetro variacional é zero.
Essa diferença em resposta à variação da trajetória é visualizada tomando o integral. Como sabemos: a integração tem a seguinte propriedade: se você tem um gráfico e a integral desse gráfico, quando a inclinação do gráfico muda, o valor da integral muda na proporção .
Isso explica porque o Lagrangiano ($T - V$) tem esse sinal de menos.
A mecânica lagrangiana usa a equação da energia (1) para encontrar a trajetória com a propriedade de que a taxa de variação da energia cinética corresponde à taxa de variação da energia potencial.
Esta resposta é uma versão abreviada de uma versão anterior mais longa (usando a mesma animação de 7 quadros)
A explicação heurística do OP (v3) contém os ingredientes físicos corretos de natureza dinâmica e cinemática, embora o importante sinal negativo relativo entre $T$ e $V$ no Lagrangiano $L=T-V$poderia preferencialmente usar alguma elucidação adicional. Para uma prova matemática, consulte, por exemplo, esta postagem do Phys.SE relacionada.