A sequência inteira A178157

Question

http://oeis.org/A178157

A178157 é uma sequência numérica que descreve os números divisíveis por todos os seus prefixos. Por exemplo, 2020 está na sequência porque 2020 é divisível por 2, 20 e 202, (e 2020). No entanto, notei que após 100, todos os números na sequência terminam em zero. Portanto, minha pergunta é: existe um número na sequência A178157 maior que 100 que não termina com zero?

Meu próprio progresso:

Um amigo meu escreveu um código e verificou todos os números até 100 milhões sem sorte. Existe alguma prova de que todos os números maiores que 100 nesta sequência devem terminar com zero?

A única pista em que consegui pensar ao tentar provar isso foi que o número também não deve conter zeros porque haveria um sufixo que termina em zero.

Curiosamente, há uma sequência semelhante, A178158, que olha para os sufixos em vez dos prefixos, e há muitos números grandes na sequência que não contêm zeros, por exemplo, 53125 é divisível por 5, 25, 125, 3125 , (e 53125). Nenhum dos números nesta sequência termina em zero, o que é muito mais fácil de provar, pois o primeiro prefixo é zero e você não pode dividir por zero.

Answer 1

A resposta é que qualquer número de três ou mais dígitos deve terminar em $0.$

E se $n\geq 10$ então para $10n+d$ ser divisível por $n,$ você deve ter $d$ divisível por $n.$ Mas se $d$ é um dígito, então $0\leq d<10\leq n,$ então o único possível $d$ é $0.$

Este argumento funciona em qualquer base.

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Como Ross mencionou nos comentários, se o número tiver $2k+1,$ ou mais dígitos, deve terminar em $k$ zeros.

Isso pode ser visto por um argumento semelhante, ou usando $10^k,$ observando que qualquer número que satisfaça a propriedade de base $10$ também é um número para base $10^k,$ e um número com $2k+1$ ou mais dígitos na base $10$ é $3$ ou mais dígitos na base $10^k.$

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Não relacionado à pergunta, mas dado qualquer número, não só podemos adicionar zeros ao final, como também podemos adicionar zeros imediatamente antes do último dígito diferente de zero. Ou seja, se$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ então podemos encontrar um número diferente de zero de $0$ adicionar entre $d_{k-1}$ e $d_k.$

Especificamente, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ então $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

Agora se $f(N)$ é o número de $N$ com todos os fatores de $2$ e $5$ removido, você pode definir $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

Então você pode definir $m$ ser um a menos na ordem de $10$ modulo $D.$

Por exemplo, com $n=14490000$ Você tem $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

A ordem de $10$ mod $9$ é $1,$ então você só precisa da ordem de $10$ mod $7,$ e isso é $6$, e $m$ é $5.$ Então:

$$144000009\cdot 10^9$$

Você também deve preencher o lado direito com zeros.