Ajuda com eletrodinâmica e manipulação de subcript

Question

Estamos aprendendo eletrodinâmica e equação maxwell. Eu entendo como essa união de divegência faz sentido

$\nabla \cdot E = \partial_i E_i = 2\pi\rho$

é apenas

$\partial_x E_x + \partial_y E_y + \partial_z E_z = \rho$

Eu posso ver como os índices repetidos são apenas somados, mas para a equação (curl)

$\nabla \times \vec E = \hat{e_i} \epsilon_{ijk} \partial_j E_k$ ... (1)

dá

$\hat i ( \partial_y E_z - \partial_z E_y ) - \hat j (\partial_x E_z - \partial_z E_x) + \hat k (\partial_x E_y - \partial_y E_x )$ ... (2)

Alguém pode me mostrar como "visualizar" esse resultado, por favor? Eu tenho a definição de$\epsilon_{ijk}$

$\epsilon_{ijk} = +1$ E se $(i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1) , (3,1,2)$ e $-1$ E se $(i,j,k) = (3,2,1), (1,3,2) , (2,1,3)$ e $0$ de outra forma.

Alguém pode me ajudar a visualizar isso por favor. Tipo se você tentasse fazer um epand? Não consigo ver como obter (2) de (1). Eu simplesmente não consigo ver todos os passos. Obrigado.

Answer 1

Bem, pode ajudar se fizermos tudo explicitamente. Tenho certeza que você sabe disso$\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i }$. Considerando a definição do símbolo Levi-Civita, e a equação para o cacho de$E$ (equação 1 acima), obtemos

$\nabla \times \vec E = $

$e_1 \epsilon_{111} \partial_1 E_1 + e_1 \epsilon_{112} \partial_1 E_2 + e_1 \epsilon_{113} \partial_1 E_3 + e_1 \epsilon_{121} \partial_2 E_1 +e_1 \epsilon_{122} \partial_2 E_2 + e_1 \epsilon_{123} \partial_2 E_3 +$

$e_1 \epsilon_{131} \partial_3 E_1 + e_1 \epsilon_{132} \partial_3 E_2 + e_1 \epsilon_{133} \partial_3 E_3 + e_2 \epsilon_{211} \partial_1 E_1 + e_2 \epsilon_{212} \partial_1 E_2 + e_2 \epsilon_{213} \partial_1 E_3 + $

$e_2 \epsilon_{221} \partial_2 E_1 + e_2 \epsilon_{222} \partial_2 E_2 + e_2 \epsilon_{223} \partial_2 E_3 + e_2 \epsilon_{231} \partial_2 E_1 + e_2 \epsilon_{232} \partial_3 E_2 + e_2 \epsilon_{233} \partial_3 E_3 +$

$e_3 \epsilon_{311} \partial_1 E_1 + e_3 \epsilon_{312} \partial_1 E_2 + e_3 \epsilon_{313} \partial_1 E_3 + e_3 \epsilon_{321} \partial_2 E_1 + e_3 \epsilon_{322} \partial_2 E_2 + e_2 \epsilon_{323} \partial_2 E_3 +$

$e_3 \epsilon_{331} \partial_3 E_1 + e_3 \epsilon_{332} \partial_3 E_2 + e_3 \epsilon_{333} \partial_3 E_3 $

Agora, todos os termos com subscritos repetidos em $\epsilon_{ijk}$ deve desaparecer devido à terceira condição acima para $\epsilon{ijk}$ de modo que o acima se reduz a

$e_1 \epsilon_{123} \partial_2 E_3 + e_1 \epsilon_{132} \partial_3 E_2 + e_2 \epsilon_{213} \partial_1 E_3 + e_2 \epsilon_{231} \partial_3 E_1 + e_3 \epsilon_{312} \partial_1 E_2 + e_3 \epsilon_{321} \partial_2 E_1$

E como afirmado acima, os termos cíclicos retêm seu sinal e os termos anticíclicos recebem um sinal negativo,

$ e_1 \partial_2 E_3 - e_1 \partial_3 E_2 - e_2 \partial_1 E_3 + e_2 \partial_3 E_1 + e_3 \partial_1 E_2 - e_3 \partial_2 E_1 $

Agora vamos usar coordenadas cartesianas com os vetores unitários usuais $ e_1 = \hat i$ , $e_2 = \hat j$ e $e_3 = \hat k $ para finalmente dar

$\nabla \times \vec E = \hat i ( \partial_j E_k - \partial_k E_j ) - \hat j (\partial_x E_z - \partial_z E_x) + \hat z (\partial_x E_y - \partial_y E_x )$

que é exatamente a equação (2) que você declarou acima.