Álgebra Linear - Dimensão do problema de subespaço

Question

Eu encontrei essa pergunta em um slide de aula sobre a seção de álgebra linear GRE do teste de matemática e não consegui descobrir.

Suponha $V$é um espaço vetorial real de dimensão finita n. Chame o conjunto de matrizes de$V$ em si mesmo $M(V)$.
Deixei$T∈ M(V)$. Considere os dois subespaços$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ e $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Qual das seguintes opções deve ser VERDADEIRO?

I. Se $V$ tem uma base contendo apenas eigenvetores de $T$ então $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Acho que II deve ser falso, mas não consigo descobrir a verdade de I ou III. Qualquer ajuda é apreciada!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 não é necessariamente verdadeiro. Para pegar$n = 2$, e deixar $T(e_1) = e_1$ e $T(e_2) = 2e_2$. Deixei$X$ melhor $X(e_1) = e_1$ e $X(e_2) = e_1 + e_2$. Então$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, mas $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Então$TX \neq XT$.

2 é verdade. Considere o mapa linear$f: M(V) \to M(V)$ enviando $X$ para $TX - XT$. Então podemos escrever$W = \im(f)$ e $U = \ker(f)$. Então, pelo teorema da nulidade,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 não é necessariamente verdadeiro. Para pegar$n > 1$ e $T =$a identidade. Então$U = M(V)$ assim $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.