Álgebra Linear: Produtos Internos e Base

Question

Para avaliar um Produto Interno, usamos as coordenadas dos vetores (como fazemos para Normas) ou os próprios vetores (no sentido absoluto)?

Por exemplo, considere o espaço de polinômios até o 3º grau com base: [1, x, x^2, x^3].

O seguinte é verdadeiro? As coordenadas do vetor base "x" em R4 são: [0 1 0 0]'.

Se definirmos o produto interno neste espaço como uma integral, vi que nos produtos internos dos vetores de base (digamos x e x^2), os próprios vetores de base são usados, e não suas coordenadas.

Obrigado

Edit: Acho que estou tropeçando porque normalmente estou acostumado com o produto escalar, onde a base geralmente são os vetores unitários e, portanto, as coordenadas dos vetores são apenas os próprios vetores.

Answer 1

Se você tem uma base ordenada$e_1,\dots,e_n$e$v = a_1e_1 + \dots a_ne_n$então a matriz associada é$[a_1,\dots,a_n]^\top$(digamos que seja um vetor coluna). Então por exemplo$x = 0e_1 + 1e_2 + 0e_3 + 0e_4$então o vetor de coordenadas associado é$[0,1,0,0]^\top$como você diz.

Em seguida, se você tem um produto interno e deseja descrever esse produto interno em coordenadas, você forma a matriz Gram$G = [\langle e_i, e_j \rangle]_{i,j=1}^n$. Por exemplo se$\langle v, w \rangle = \int_0^1 vw \;dx$então nós temos$$ \langle x^m, x^n \rangle = \frac{1}{1 + m + n} $$

Então isso nos dá a matriz Gram$$G = \begin{bmatrix} 1 & \frac12 & \frac13 & \frac14 \\ \frac12 & \frac13 & \frac14 & \frac15 \\ \frac13 & \frac14 & \frac15 & \frac16 \\ \frac14 & \frac15 & \frac16 & \frac17 \end{bmatrix}. $$A maneira como isso funciona é que se$v, w$são polinômios, cujos vetores de coordenadas eu chamo$[v]$e$[w]$então$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\langle v, w \rangle = [v]^\top G [w].} $$

Por exemplo:$$ \langle x, x^2 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} G \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac13 \\ \frac14 \\ \frac15 \\ \frac16 \end{bmatrix} = \frac14. $$

Lembre-se que multiplicando uma matriz à direita por$[e_i] = [0,\dots,1,\dots,0]^\top$dá-lhe o$i$-ésima coluna dessa matriz e multiplicando à esquerda por$[e_i]^\top = [0,\dots,1,\dots,0]$dá-lhe o$i$-jogar.

Answer 2

Aqui está algo que você deve observar:

Deixar$ V,<,> $seja um espaço de produto interno de dimensão finita. E deixar$ B={b_1,b_2,...,b_n} $seja uma base ortonormal para$ V $.

Então para qualquer$ u,v \in V $, eu assino$ <,>_{st} $o produto escalar, e segue que

$ <u,v> = <[u]_B,[v]_B>_{st} $

Onde$ [u]_B,[v]_B $indica os vetores de coordenadas de$ u $e$ v $pela base ortobornal, respectivamente.

Nota: isso não é necessariamente verdade se a base não for ortonormal.