Álgebras Sigma Geradas
Não sou um matemático, pelo contrário, pego tópicos em movimento, quando preciso de algo para o tópico que estou estudando no tempo determinado. Então, sinto muito se isso é trivial para a maioria de vocês e peço desculpas por quaisquer erros conceituais que eu possa cometer na descrição - tentarei ser o mais preciso possível.
No momento, estou estudando Teoria das Probabilidades, neste curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [para fins de compreensão do Cálculo Estocástico para Finanças (Vol. II - S. Shreve)], e me deparei com álgebras sigma.
Embora eu compreenda o conceito; se tivermos um conjunto que é uma coleção de subconjuntos de Omega (ou seja, se tivermos uma coleção de eventos) denotados por F, então F é uma sigma-álgebra se satisfizer as três condições seguintes;
- Omega pertence a F,
- F é fechado sob complementos,
- F está fechado em Uniões contáveis
Até agora tudo bem e também compreendo as propriedades que derivam da definição, bem como a forma como são derivadas. Além disso, sei que temos a álgebra sigma trivial, a menor álgebra sigma no Omega e a Álgebra Sigma Discreta, que é o conjunto de potência do Omega, sendo a maior álgebra sigma no Omega.
Meu problema é com álgebras sigma geradas. Eu entendo a definição; Seja A uma coleção arbitrária de subconjuntos de Omega, então sigma (A) é a álgebra sigma gerada, gerada a partir de A e é a menor álgebra sigma contendo A. Além disso, podemos encontrar a menor álgebra sigma cruzando todas as álgebras sigma contendo A , como a intersecção de álgebras sigma também é uma álgebra sigma.
A última parte é a que não entendo e me confunde. Eu entendo que temos o conjunto de potência do Omega que definitivamente contém a coleção A - Mas o que exatamente queremos dizer ao cruzar todas as álgebras sigma contendo A para encontrar a menor contendo A? Isso significa que se tivermos uma álgebra sigma contendo a coleção A e outra coleção de subconjuntos, B (que é uma álgebra sigma contendo A, mas entendo que não é a menor) e a cruzamos com o conjunto de potência do Omega, geramos sigma (A), que de fato é o menor e mais refinado para responder às perguntas de que precisamos em nosso problema? Mas, de onde exatamente vem a álgebra sigma maior (nas coleções A e B)?
Se alguém pudesse fornecer uma explicação mais intuitiva ou, melhor ainda, dar um exemplo (finito, como um lançamento de dados), eu ficaria muito grato.
Muito obrigado pelo seu tempo lendo isso! :)
Respostas
A questão não é pegar um $\sigma$-álgebra $B$ contendo $A$ e cruzá-lo com o conjunto de poderes de $\Omega$. (Observe que se$B$é qualquer coleção de subconjuntos de$\Omega$, e $P(\Omega)$ é o conjunto de poderes de $\Omega$, então $B\cap P(\Omega)=B$. Então, cruzando com o conjunto de poderes de$\Omega$ não faz muito.) O ponto é que se tivermos dois $\sigma$-álgebras $B_1$ e $B_2$ que contém $A$, então $B_1\cap B_2$ também é um $\sigma$-álgebra contendo $A$(exercício). Além disso,$B_1\cap B_2$ vai ser menor que $B_1$ e $B_2$ (a menos que um de $B_1$ ou $B_2$ contém o outro).
então $\sigma(A)$leva essa ideia ao seu extremo: cruzamos todos $\sigma$-álgebras contendo $A$. Em símbolos, deixe$\mathscr{B}$ seja o conjunto de $\sigma$-álgebras em $\Omega$ que contém $A$. Então$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Então$\sigma(A)$ é um $\sigma$-álgebra contendo $A$ (exercício), e se $B$ é um $\sigma$-álgebra contendo $A$ então $\sigma(A)\subseteq B$por definição. Portanto, faz sentido chamar$\sigma(A)$ o menor $\sigma$-álgebra contendo $A$, ou o $\sigma$-álgebra gerada por $A$.
Agora você pergunta onde estes são maiores $\sigma$-álgebras vêm, e isso depende muito do exemplo particular. Em geral, a coleção$\mathscr{B}$acima pode ser bastante complicado. O máximo que podemos dizer em geral é que sempre há pelo menos um$\sigma$-álgebra em $\mathscr{B}$, ou seja, o conjunto de alimentação de $\Omega$.
A construção de $\sigma(A)$ descrito acima é bom para uma definição, mas bastante difícil de colocar em prática porque pode ser difícil ou, pelo menos, muito demorado calcular $\mathscr{B}$. Dado um particular$A$, se alguém deseja obter uma descrição mais explícita de $\sigma(A)$então isso geralmente envolve o cálculo de famílias de conjuntos que devem estar em qualquer$\sigma$-álgebra contendo $A$ até que você venha com uma família que é ela própria um $\sigma$-álgebra. Na verdade, se você puder criar uma coleção$B$ que é um $\sigma$-álgebra contendo $A$ e deve estar contido em qualquer $\sigma$-álgebra que contém $A$, então segue-se que $\sigma(A)=B$.
Quando $\Omega$ é finita, a ideia de força bruta é um pouco mais razoável porque você pode simplesmente começar a fechar $A$ sob cruzamentos e complementos até obter uma álgebra.
Considere, por exemplo, a linha real e a coleção de todos os conjuntos de um ponto $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Uma álgebra sigma que contém esses conjuntos é o conjunto de potência. Outra é a família de todos os conjuntos contáveis e seus complementos. Existem muitos outros também. Agora pegue os conjuntos que são comuns a todas as álgebras sigma. Isso dá a álgebra sigma gerada por nossa família. Neste caso, trata-se de conjuntos contáveis exatamente e seus complementos. Motivo: qualquer álgebra sigma que contenha singletons deve conter todos os conjuntos contáveis (uma vez que são uniões contáveis de singletons). Também deve conter seus complementos. Portanto, a menor álgebra sigma contendo todos os singeltons é exatamente a família de todos os conjuntos contáveis e seus complementos.