Amostragem Aleatória: Exogenidade Fraca e Forte

Question

$Y \ = \ X' \beta \ + \ e $

Onde $Y = (y_1, ..., y_n)$ e $\beta = (\beta_0,..., \beta_k)$.

Por que a exogenidade fraca sob amostragem aleatória produziria forte exogenidade?

Eu sei que exogenidade fraca é definida como $ \ E(e_i | x_i) = 0 \hspace{1em} \forall \ i \ $ e forte exogenidade é definida como $E(e_i | x_j) = 0 \hspace{1em} \forall \ i,j \in \left\lbrace 1, \cdots, n \right\rbrace $.

E eu não entendi a afirmação de que $ \ \ E(e_i | X) = E(e_i | x_1, \cdots, x_n) = E(e_i | x_i) = 0 \ \ $

eu sei $ \ \ E(e_i| x_i, x_j) = E(e_i| x_i) \ \ $ E se $e_i$ é independente de $x_j$.

E eu pensei que a amostragem aleatória é sobre $e_i$ sendo independente de $e_j$ para $i \neq j$. (ou é sobre$x_i$ e $x_j$? Estou confuso...)

Mas por que $e_i$ ser independente de $x_j$s devido à amostragem aleatória?

Muito obrigado pela sua ajuda antecipadamente!

Answer 1

A amostragem aleatória é sobre a realização multivariada $(y_i,x_{1i},x_{2i},...x_{ki})$ e implica que a realização $i$ é independente de quaisquer outros. $i=1,...,n$

Além disso, a condição $E[e_i|x_{1i},x_{2i},...x_{ki}]=0$ implica $E[e_i|x_{ji}]=0$ fon qualquer $j=1,...,k$. Em palavras, e no sentido que você pretende, a exogeneidade estrita implica o fraco.

Portanto, a afirmação que você não entende está correta.

Vejo que você está procurando outros aspectos estatísticos relacionados aqui: Exogenidade: O que E (eX) realmente significa e por que é usado?

Todos eles são relevantes. Talvez você seja estudante e eu não queira confundi-lo. No entanto, tenho que avisá-lo que o significado adequado de exogeneidade não fica em detalhes sobre as medidas de dependência estatística usuais (independência média, escorrelação, ortogonalidade, indipendência, independência condicional, ecc): A exogeneidade tem, ou deveria ter, um papel causal claro . Esse papel deve ser incluído em modelos causais ; então, o papel das equações estruturais , não apenas das equações de regressão, é crucial. Leia aqui pode ajudar:

Qual é a definição real de endogeneidade?

Como as suposições de exogeneidade padrão e independentes dos conceitos de resultados potenciais estão vinculadas?

Expectativa condicional zero de erro na regressão OLS

Teste de endogeneidade usando teste de correlação