Análise complexa calculando a integral

Question

eu=$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$é o intervalo entre$\omega_1=0$e$\omega_2=1+2\mathrm i$

Como posso calcular a integral acima? Eu não tenho nenhum processo sobre esta questão. Sinto muito por isso.

Answer 1

Basta aplicar a definição: Se$D\subseteq\mathbb C$,$\gamma:[a,b]\to D$é a parametrização de uma curva suave e$f:D\to\mathbb C$, então

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

No seu caso,$\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$é uma parametrização adequada, e$f(z)=\operatorname{Im}z$. Conectando tudo:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Acho que você pode fazer o resto sozinho.