Aniquilador de Módulo Simples

Question

Deixei $C$ ser um finitamente gerado $R$-álgebra onde $R$é um anel comutativo unital. Deixei$S$ seja um simples $C$-módulo. Mostre que o aniquilador de$S$ no $R$ é um ideal máximo.

O que eu tentei é: quando $C=R$ então é uma consequência direta da simplicidade de $S$ como um $R$-módulo. Além disso, desde$S$ é simples então $S$ é cíclico (ou seja $S=Cy$ para diferente de zero $y\in S$) Considere o mapa$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Então $\ker(f)$ é o aniquilador de $S$ no $C$ e $\ker(f) \cap R$ é o aniquilador de $S$ no $R$. Eu mostrei que é um ideal de$R$mas não tenho ideia de continuar mostrando a maximalidade. É uma direção verdadeira ou há algo mais que eu deva considerar para mostrar a maximalidade?

Answer 1

Tive uma ideia: se restringirmos o mapa $f: C \to S$ em $R$. Então temos um isomorfismo entre$f(R)=Ry$ e o quociente $R/(\ker(f) \cap R)$, Onde $\ker(f) \cap R$ é o aniquilador de $S$ no $R$.

Para mostrar $R/(\ker(f) \cap R)$ é máximo, basta mostrar que $Ry$ é simples como um $R$-módulo. Deixei$ry \in Ry$ser um elemento diferente de zero. Então claramente$Ry$ contém $\langle ry \rangle$ Como $R$-módulos. Por outro lado, desde$ry \in Ry \subset S$ é diferente de zero, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. então$Ry = \langle ry \rangle$ para qualquer diferente de zero $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ é simples e $R/(\ker(f) \cap R)$ é máximo.

Informe se houver ambiguidade em minha resposta.