Aplicação do Teorema Noether

Question

Tento entender um dos exemplos de aplicação do teorema de Noether dado em Uma Introdução à Teoria Quântica de Campos de Peskin & Schroeder (página no. 18, Student Economy Edition). A parte relevante do texto é fornecida abaixo.

Se eu entendi a derivação e a discussão correspondente aqui corretamente, então foi assumido que a densidade Lagrangiana$\mathcal{L}$ satisfaz a equação de Euler-Lagrange: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

Minha confusão: não vejo como$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$satisfaz a equação de Euler-Lagrange. Porque no lado esquerdo, eu consigo$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$, e no lado direito, eu obtenho $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Se o dado $\mathcal{L}$não satisfaz a equação de Euler-Lagrange, então como a formulação de Peskin & Schroeder pode ser aplicada a este caso? O que estou perdendo aqui?

Answer 1

Você escreveu sua equação de Euler-Lagrange corretamente. Então, quando você simplifica, obtém a equação do movimento (exatamente como mencionou em sua pergunta):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ Observe que não há nada de peculiar nisso porque se você usou o Lagrangiano com o termo de energia potencial também, ou seja, $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ a equação de movimento que você obterá é $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$Tudo o que estamos fazendo aqui é conectar $m=0$, que retorna a primeira equação.

Se bem entendi, você está tendo um problema com a equação de Euler-Lagrange sendo "satisfeita". Eu gostaria de esclarecer isso corrigindo sua afirmação: É incorreto dizer que o "Lagrangiano"$\mathcal{L}$satisfaz a equação de Euler-Lagrangiana; É o "campo"$\phi$ que satisfaz a equação de Euler-Lagrange.

A equação de Euler-Lagrange é $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$que fornece diferentes expressões no LHS, dependendo de qual Lagrangian você usa (já vimos dois exemplos acima). Você iguala a expressão no LHS a zero para obter a equação de Euler-Lagrange (ou equação de movimento) e resolver para$\phi$.

Espero que isso tenha esclarecido o problema.

Answer 2

A equação de Euler-Lagrange não é satisfeita automaticamente por $\mathcal{L}$. É o contrário. Dado$\mathcal{L}$, você pode encontrar a equação clássica de movimento satisfeita pelo campo $\phi$. Isso é como dar a você uma fórmula para a força na mecânica newtoniana. Mesmo que você saiba$F$, você ainda precisa conhecer a segunda lei de Newton $F=ma$para encontrar o movimento. Aqui também: dado$\mathcal{L}$, você ainda precisa da "lei" (equação EL) para encontrar o movimento.

Answer 3

Pelo que vale a pena, é muito importante em qual estágio se usa as equações de Euler-Lagrange (EL) em uma aplicação do (primeiro) teorema de Noether . O primeiro teorema de Noether tem 2 lados:

• Entrada: Um off-shell global$^1$ (quase) simetria . Aqui não se deve usar o EOM. (Uma simetria on-shell é uma noção vazia, porque sempre que variamos a ação$\delta S$ infinitesimalmente e aplicar EOM, então, por definição $\delta S\approx 0$ desaparece os termos de limite do módulo.)

• Saída: uma equação de continuidade on-shell . Aqui, deve-se usar o EOM. (Se acontecer de ficar fora da casca também, é porque a simetria global é parte de uma simetria local / medida maior. Veja o segundo teorema de Noether e, por exemplo, este post Phys.SE.)

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$^1$As palavras on-shell e off-shell referem-se a se as equações de Euler-Lagrange (EL) (= EOM) são satisfeitas ou não.