Arranjos em um círculo com uma lacuna fixa

Question

Olá, alguém poderia me dizer se estou no caminho certo? Estou um pouco confuso com arranjos circulares

Esta é a questão: de quantas maneiras 8 pessoas podem sentar em um círculo com 10 assentos, de modo que haja sempre exatamente uma pessoa entre os dois assentos vazios?

é a resposta $\frac{9!}{2}$• 8?

Meu raciocínio é tratar a pessoa no meio e as duas cadeiras vazias como um grupo, então há $\frac{9!}{2}$possíveis permutações para esse arranjo, uma vez que as duas cadeiras vazias são idênticas em cada arranjo. Então o indivíduo no meio pode ser qualquer uma das 8 pessoas, resultando em$\frac{9!}{2}$• 8

Answer 1

Por convenção, em uma permutação circular, apenas a ordem relativa dos objetos importa. Portanto, podemos tomar a pessoa que se senta entre as duas cadeiras vazias como nosso ponto de referência.

Existem oito maneiras de escolher a pessoa que se senta entre duas cadeiras vazias. À medida que avançamos no sentido horário ao redor da mesa daquela pessoa, há$7!$formas de acomodar as sete pessoas restantes nas sete cadeiras restantes, ou seja, as cadeiras que não reservamos para a pessoa que se senta entre duas cadeiras vazias e as duas cadeiras vazias. Portanto, existem$$8 \cdot 7! = 8!$$ tais arranjos de assentos.

O problema com sua abordagem é que os dois assentos vazios devem ser separados por exatamente um assento. Portanto, você não tem$10$ objetos a serem permutados, visto que a localização da pessoa solitária também determina as posições dos assentos vazios.