Autovalores de $A^{2018}$

Question

Encontre os autovalores e autovetores de$A^{2018}$.$$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

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Minha solução:

Primeiro, subtraindo a primeira linha vezes três da segunda linha, obtemos:$$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

Alcançamos a matriz triangular superior de modo que o polinômio característico é:$$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

Portanto, o conjunto de autovalores é$\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

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Verifique se esta é a solução correta e, caso não seja, ajude-me a encontrar a correta.

Answer 1

Sua matriz é a soma de uma matriz relativamente fácil (simétrica) e uma matriz nilpotente, e essas comutam.$N$é zero, exceto para o par de$4$em posições$(1,3)$e$(2,3).$Chame o simétrico$S$que pode ser bem diagonalizada. porque eles se deslocam,$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$Ele pára por aí desde$N^2 = 0.$

Eu apenas adivinhei isso, tudo o que é necessário é explícito$P^{-1} S P = D.$Não é realmente necessário que$P$ser ortogonal. Na verdade, o que eu faço é

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

Onde$PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $de modo a$S = PDP^T.$Por isso$S^{n} = P D^n P^T$para todos$n \geq 1$

a$S+N$é chamado de decomposição Jordan Chevalley, às vezes muito mais fácil do que a forma canônica Jordan. Desta vez, não muito diferente

Answer 2

Dica: O polinômio característico é$c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Você pode verificar se a forma normal de Jordan é$B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

Então$A^n$é similar a$B^n$.

Mas$B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

Daí obtemos$\{4^n,(-2)^n\}$como os autovalores.