Base $7$é base para trás $16$

Question

Encontre a soma de todos os inteiros positivos tais que sua expressão na base$7$dígitos é o inverso de sua expressão na base$16$dígitos. Expresse sua resposta na base$10$.

Tentei expressar os dígitos como$d_1$ $d_2$... e fazendo equações separadas, mas isso não funcionou. Ajuda!

Answer 1

Em particular, esses números têm no máximo tantos dígitos na base sete quanto na base dezesseis. Então se$16^{k-1} \leq n < 16^{k}$é um número inteiro, então$n$tem no máximo$k$dígitos na base$7$, então$n < 7^k$. Por isso$16^{k-1} < 7^k$. Isso força$k \leq 3$. Por suposição, você sabe que$n$tem como base apenas 16 dígitos$0,1,2,3,4,5,6$.

Os números de um dígito contribuem$21$.

Para os números de dois dígitos: escreva$n$como$ab$na base$16$. Então$16a+b=7b+a$, então$15a=6b$ou seja$5a=2b$, então$a=2,b=5$é a única solução, ou seja,$n=37$.

Para os números de três dígitos: escreva$n$como$abc$, então$256a+16b+c=49c+7b+a$, portanto$255a+9b=48c$, conseqüentemente$85a+3b=16c$. Como$a > 0$,$c > 5$então$c=6$e$3|85a$, então$16c=85a+3b > 255$, então$c > 6$, impossível.

Então finalmente é$21+37=58$.

Answer 2

Se$n=a_k 16^k + \ldots + a_1 16+ a_0= a_0 7 ^k + \ldots a_{k-1}7 + a_k$, com$a_k \geq 1$, então por$n < 7^{k+1}$temos$16 ^k < 7^{k+1}$. Isso significa que$k\leq 3$(pode verificar isso manualmente). Isso limita consideravelmente o espaço de busca. Além disso, se o conjunto de coeficientes em ambas as expansões for o mesmo, então cada$a_i \leq 6$. isso torna o problema passível de uma pesquisa no computador, se isso for suficiente para seus propósitos.

Para reduzir ainda mais o problema, se$a_k = 2$, então$2 \cdot 16^k \leq n < 7^{k+1}$que dá$k\leq 2$nesse caso. Isso deve ser bastante fácil de codificar.