Base para determinar uma topologia única
Quando leio a Topologia de Munkres , tenho a sensação de que, se tivermos uma base$\mathscr{B}$ em um set $X$, então a base determina exclusivamente uma topologia em $X$; isto é, se tivermos duas topologias$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ com a mesma base $\mathscr{B}$, então $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Não tenho certeza se estou certo porque não consigo ver isso na definição, que é a seguinte:
E se $X$ é definido, uma base para uma topologia em $X$ é uma coleção $\mathscr{B}$ de subconjuntos de $X$ (chamados de elementos básicos) de modo que para cada $x\in X$, há pelo menos um $B\in \mathscr{B}$ de tal modo que $x\in B$ e se $x\in B_1\cap B_2$, Onde $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, então existe $B_3\in \mathscr{B}$ de tal modo que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Além disso, a base $\mathscr{B}$ gera uma topologia
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ em U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ subconjunto U$}\right\}$,
qual é a menor topologia contendo $\mathscr{B}$. Portanto, acho que é provável que as topologias cujas bases são$\mathscr{B}$ deve ser igual a $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
A propósito, consultei o artigo Unicidade de Topologia e Base e um dos comentários (deixado por Henno) parece justificar meu palpite e eles mencionaram qualquer conjunto aberto$O$ é uma união dos elementos de $\mathscr{B}$, assim $O$ já está na topologia $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, mas como eles poderiam saber $O$pode ser escrito dessa forma apenas pela definição de uma base? Quer dizer, no livro de Munkres, ele mencionou no lema 13.1, do meu entendimento, que$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, ao contrário de dizer que vale para qualquer topologia com base $\mathscr{B}$. Talvez eu esteja me entendendo mal neste ponto.
Qualquer ajuda é muito apreciada !!
Respostas
Dizemos que topologia $\mathcal T$ tem base $\mathcal B$ E se $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Portanto, é imediato que, se duas topologias tiverem a mesma base, elas coincidirão.
Dizendo isso para todos $x\in U$ há um $B_x\in\mathcal B$ de tal modo que $x\in B_x\subseteq U$ é equivalente a dizer que $U$ é a união de elementos de $\mathcal B$, especificamente $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
O que você pode estar faltando é que
Um conjunto $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ é uma base para uma topologia (o que significa $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ é uma topologia) se e somente se as condições fornecidas forem mantidas, ou seja, $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ e $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Eu começaria com a definição de topologia como a coleção de todos os conjuntos abertos. Observe agora que cada conjunto aberto pode ser escrito como a união teórica do conjunto de cada elemento de base que contém um ponto$x \in U$, isso é, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Observe agora que, pelas suposições de uma base de uma topologia, você sempre pode pegar dois elementos de base$B_1, B_2$ com interseção não vazia e encontre um terceiro elemento de base neles (chame-o $B_3$) No entanto, a topologia gerada pela coleção sem $B_3$e aquele com $B_3$ é exatamente o mesmo e isso vem do fato de que a união conjunto-teórica não muda se adicionarmos um conjunto que já é levado em consideração considerando os conjuntos $B_1$ e $ B_2$. Este é o significado de quando Munkres escreve que uma base para uma topologia não é como uma base para um espaço vetorial. Portanto, deste ponto de vista, você pode ver que, uma vez que a união teórica dos conjuntos de todos os conjuntos abertos (fixos) é um objeto único, você pode dizer que uma base determina a topologia, mas não o contrário.