Bolas abertas sob o comprimento do arco e sob o comprimento da corda

Question

Atualmente estou preso em mostrar isso, para uma bola aberta em $S^1$ de raio $\epsilon$ de modo que a bola seja definida sob a métrica do comprimento do arco entre dois pontos, existe um $\delta$ de modo que uma bola aberta de raio $\delta$ sob a métrica de comprimento da corda (ou distância euclidiana) entre dois pontos está contido dentro.

Na verdade, tentei deixar $\delta = \sqrt{2-2cos(\epsilon)}$ pela lei do cosseno e em vez de obter $B_\delta \subseteq B_\epsilon$, Eu tenho o contrário. Parece que baguncei alguma lógica dentro dele ...

editar: eu mostrei que

$d_a(x,y)<\epsilon \Rightarrow \sqrt{2-2cos(d_a(x,y))} <\delta $

Onde $\sqrt{2-2cos(d_2(x,y))} = d_2(x,y)$ de modo que qualquer elemento na bola sob $d_a$ é em $d_2$, o que traz isso $B_\epsilon \subseteq B_\delta$. $d_a$ representa a métrica do arco, $d_2$ a métrica do acorde.

atualização: eu tentei $\delta = 2sin(\epsilon/2)$ e $d_2(x,y)<\delta \Rightarrow 2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) < \epsilon$, Onde $2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) = d_a(x,y)$. Este é um argumento forte o suficiente para provar esta afirmação?

Answer 1

Observe que para $0\leq \theta \leq \pi$ (os valores possíveis de $d_a(x,y)$) temos $\sqrt{2-2\cos(\theta)}=2\sin(\theta/2).$ Então

$$ d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))}=2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right). \tag1 $$

Então, se você definir $\delta = \sqrt{2-2\cos(\epsilon )}=2\sin(\epsilon /2),$ é possível mostrar que

$$ d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))} < \delta$$ e $$d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = 2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right) < \delta.$$

Sua primeira tentativa acabou de provar uma daquelas implicações duplas em uma direção, mas não foi a direção de que você realmente precisava.

Da Equação $(1)$ é evidente que $d_a(x,y) = 2\sin^{-1}\left(\frac12 d_2(x,y)\right)$(exatamente como você encontrou), então sua segunda tentativa parece boa para mim. Mais uma vez, você pode provar a implicação em qualquer direção, mas desta vez na direção de que precisa.

Costumo lembrar às pessoas que você não precisa usar o maior valor possível de$\delta$; um valor menor será suficiente no que diz respeito ao rigor da prova. Mas, neste caso, parece não haver dificuldade em lidar com os valores de$\delta$ você escolheu para cada $\epsilon.$ A função de arco seno realmente faz essa escolha de $\delta$ tão fácil quanto qualquer coisa que eu pudesse imaginar.