Bounded Square-Integrable Martingale

Question

Estou perplexo com a seguinte pergunta. Suponha$(X_n, \mathbb{F}_n)_{n\ge 0}$ é um martingale quadrado-integrável e $\sup_k |X_k| \le C$ para não aleatório $C$. Deixei$D_k = X_k - X_{k-1}$ para $k\ge 1$. mostrar$$ E\left[\left(\sum^k_{j=1} D_j^2 \right)^2 \right] \le 6 C^4 $$ para qualquer $k$.

Eu tentei expandir, usando o fato de que $D_j$ são médios zero, não correlacionados, mas não consigo encontrar um limite que não cresça com $k$.

Answer 1

Desde a $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é um martingale quadrado-integrável, sabemos pela decomposição de Doob que $X_n^2- \langle X \rangle_n$ é um martingale, onde $$\langle X \rangle_n := \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(X_j^2-X_{j-1}^2 \mid \mathcal{F}_{j-1})$$é o compensador. Por causa da propriedade martingale, também temos

$$\langle X \rangle_n = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}((X_j-X_{j-1})^2 \mid \mathcal{F}_{j-1}) = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2 \mid \mathcal{F}_{j-1}).\tag{1}$$

Desde a $(X_n)_n$ é limitado por $C$, segue que

$$\mathbb{E}(\langle X \rangle_n ) = \mathbb{E}(X_n^2)-\mathbb{E}(X_0^2) \leq \mathbb{E}(X_n^2) \leq C^2 \tag{2}$$

para todos $n \in \mathbb{N}$.

Agora vamos começar a estimar o lado esquerdo de sua desigualdade. Claramente,

$$\mathbb{E} \left( \left[ \sum_{j=1}^n D_j^2 \right]^2 \right) = S_1+S_2 \tag{3}$$

Onde \begin{align*} S_1 &:= \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^4) \\ S_2 &:= 2 \sum_{j=1}^n \sum_{k>j} \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2). \end{align*}

Desde a $D_j^2 \leq 4C^2$, nós vemos de $(1)$ e $(2)$ este

$$S_1 \leq 4C^2 \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2) = 4C^2 \mathbb{E}(\langle X \rangle_n) \leq 4 C^4. $$

Estimar $S_2$ notamos que, pela propriedade da torre de expectativa condicional,

\begin{align*} \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E} \big[ \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \big] \\ &= \mathbb{E}\big[ D_j^2 \mathbb{E}(D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \big] \end{align*}

para qualquer $j<k$. Resumindo$k=j+1,\ldots,n$ rendimentos, por $(1)$,

\begin{align*} \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E} \left[ D_j^2 \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \right] \\ &\stackrel{\text{(1)}}{=} \mathbb{E}(D_j^2 (\langle X \rangle_n-\langle X \rangle_j)). \end{align*}

Se definirmos $M_n := \langle X \rangle_n-X_n^2$, então $M$ é um martingale e podemos escrever

\begin{align*} \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)) + \mathbb{E}(D_j^2 (X_n^2-X_j^2)). \tag{4} \end{align*}

Desde a $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é um martingale, uma aplicação dos rendimentos de propriedade da torre

\begin{align*} \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)) &= \mathbb{E} \bigg[ \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)\mid \mathcal{F}_{j}) \bigg] \\ &= \mathbb{E} \bigg[ D_j^2 \mathbb{E}(M_n-M_j \mid \mathcal{F}_j) \bigg] = 0. \end{align*}

Para o segundo mandato do lado direito de $(4)$ nós notamos que

$$\mathbb{E}(D_j^2 (X_n^2-X_j^2)) \leq \mathbb{E}(D_j^2 X_n^2) \leq C^2 \mathbb{E}(D_j^2).$$

Summig over $j=1,\ldots,n$ dentro $(4)$, concluimos que

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) \leq C^2 \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2) \stackrel{(2)}{\leq} C^4.$$

Combinando todas as estimativas mostra, por $(3)$, este

$$\mathbb{E} \left( \left[ \sum_{j=1}^n D_j^2 \right]^2 \right) \leq 6 C^4.$$