Cada subconjunto de um produto é um produto de subconjuntos?
Cada subconjunto de um produto é um produto de subconjuntos?
ou seja, deixe $E$ e $F$ dois conjuntos não vazios e definimos o produto cartesiano $E \times F$.
Agora, dado um subconjunto não vazio $A$ do $E\times F$, podemos escrever $A$ como o produto de dois subconjuntos de $E$ e $F$: ou seja, está lá $E_1 \subset E$ e $F_1 \subset F$ de tal modo que $$A=E_1 \times F_1$$
Minha ideia é que esta afirmação é falsa, e algum contra-exemplo que pensei é $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \,\, x^2+y^2=1\}$$ $$\{(x,1/x), \,\, x\in \mathbb{R}^*\}$$ Mas não consegui encontrar uma maneira de provar que não podemos escrever esses dois conjuntos como produto de dois subconjuntos de $\mathbb{R}.$
Respostas
Mantenha simples. Um contra-exemplo mínimo é o seguinte:$$A=\{a,b\},B=\{d,e\}$$ Nós temos
$$A\times B=\left\{(a, d), (a, e), (b, d), (b, e)\right\}$$ E o subconjunto $$E=\left\{ (a, e), (b, d)\right\}$$ não é o produto cartesiano de dois conjuntos.
Presumir $\{(x,y): x^2+y^2=1\}=A\times B$ para alguns $A,B\subseteq\mathbb{R}$. Deixei$x\in A$. Então, para cada$y\in B$ temos $x^2+y^2=1$. No entanto, pode haver no máximo dois números reais$y$ que satisfazem $x^2+y^2=1$e, portanto, concluímos que $|B|\leq 2$. Similarmente,$|A|\leq 2$. Mas isso é obviamente uma contradição, porque$\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ é um conjunto infinito.
Não. Se $A \subset X \times Y$ tem a forma $A = E_1 \times F_1$, então
$$E_1 = \{ x \in E \mid \exists y \in F : (x,y) \in A\}, F_1 = \{ y \in F \mid \exists x \in E : (x,y) \in A\} .$$
Em outras palavras, $E_1$ é a imagem $\pi_E(A)$ do $A$ sob a projeção $\pi_E : E \times F \to E$, similarmente $F_1 = \pi_F(A)$.
Seu primeiro conjunto, o círculo unitário, tem as duas imagens $= [-1,+1]$, mas $[-1,+1] \times [-1,+1]$ é maior do que o seu conjunto.
Para o seu segundo conjunto, a hipérbole com dois ramos, você obtém imagens $\mathbb R^*$ que novamente não se encaixa.
Um contra-exemplo mais fácil é deixar $E=F=\{0,1\}$ e $A=\{\langle 0,0\rangle,\langle 1,1\rangle\}$. E se$A=E_1\times F_1$ para alguns $E_1\subseteq E$ e $F_1\subseteq F$, então claramente $0\in E_1$ e $0\in F_1$e $1\in E_1$ e $1\in F_1$. Mas então$E_1=E=F=F_1$, então $$E_1\times F_1=E\times F\ne A\,.$$
Como alternativa, você pode argumentar a partir da cardinalidade: $|A|=2$, e os subconjuntos de $E$ e $F$ tem cardinalidades $0,1$e $2$, então se $E_1\times F_1=A$, então um de $E_1$ e $F_1$deve ter um elemento e o outro deve ter dois. Mas se$|E_1|=1$, os membros de $A$ todos devem ter o mesmo primeiro componente, enquanto se $|F_1|=1$, todos eles devem ter o segundo componente, e nenhum deles é de fato o caso.
Este segundo argumento precisa apenas de uma pequena modificação para mostrar que se $E$ e $F$ ambos têm pelo menos dois pontos, então $E\times F$ tem um subconjunto que não é um produto: se $e_1$ e $e_2$ são pontos distintos de $E$e $f_1$ e $f_2$ são pontos distintos de $F$, o subconjunto $\{\langle e_1,f_1\rangle,\langle e_2,f_2\rangle\}$ do $E\times F$ não pode ser um produto pela mesma razão que $A$ acima não é um produto.
$$ S = \{ (x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \vert y = x\} $$ é um subconjunto de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.
Mas $S$não é um produto cartesiano. Para ver isso, observe que:$$(0,0)\in S$$ $$(1,1)\in S$$ Mas $$(0,1)\notin S.$$
Portanto $S$ não é um produto cartesiano. $\Box$
FYI, este $S$às vezes é chamado de subconjunto diagonal de$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, e acho que este nome deve fazer algum sentido para você se desenhar o gráfico de $S$. Algumas das outras respostas que já foram postadas também usam subconjuntos diagonais (de conjuntos diferentes$\mathbb{R}$), então essa resposta realmente não é diferente da deles. Mas pode ser mais fácil de visualizar.
Para conjuntos $S_1$ e $S_2$ com cardinalidades finitas $n_1$, $n_2$ respectivamente, $S_1 \times S_2$ tem $2^{n_1n_2}$subconjuntos. Para subconjuntos que podem ser escritos como produtos de subconjuntos, temos$2^{n_1}$ escolhas de qual subconjunto tomar $S_1$e $2^{n_2}$ para $S_2$, mas se um deles for o conjunto nulo, então não importa o que o outro seja. Então isso dá$(2^{n_1}-1)(2^{n_2}-1)+1$ subconjuntos diferentes.
Para cardinalidades infinitas, os dois cálculos produzem o mesmo número cardinal e, portanto, não resultam imediatamente em uma contradição, mas ainda podemos usar o argumento em subconjuntos finitos ou um módulo que resulta em um número finito de classes.
Visualizar - ou desenhar - um produto de conjuntos como uma grade retangular onde as linhas são rotuladas por um conjunto e as colunas por outro conjunto ajuda muito, eu acho.
Escolha um subconjunto de linhas e um subconjunto de colunas e observe os pontos que estão em ambos os subconjuntos. É um produto de subconjuntos. Sempre parece meio retangular, embora possivelmente com algumas linhas e colunas removidas de um retângulo completo.
Escolha alguma coleção aleatória de pontos em sua grade original. Esta coleção de pontos parece um produto de subconjuntos? Você deve conseguir encontrar algumas coleções que não parecem retangulares. Eles não podem ser produtos de subconjuntos.
Acho que essa visualização é importante, mas a parte complicada é transformar esse raciocínio em um argumento preciso.
Uma maneira de fazer isso é observar que em um produto $A \times B$, se você escolher $a \in A$ e olhe para todos os elementos de $B$ está emparelhado, eles são sempre os mesmos, não importa qual $a$ sua vez.
Em particular, se você tiver um conjunto de pares e $(a,x)$ está em seu set e $(b,y)$ está em seu conjunto, então para ser um produto de subconjuntos você conhece os elementos que $a$ e $b$ são pareados com precisam ser os mesmos, então $(a,y)$ e $(b,x)$precisa estar lá também. (Mas note que$(a,b)$ não precisa ser.)
Na visualização, isso significa que se um conjunto de pares tem dois cantos opostos de um retângulo, para que seja um produto de subconjuntos, ele também deve ter os outros dois cantos do retângulo. Portanto, os subconjuntos que contêm fragmentos de retângulos com cantos ausentes não podem ser escritos como um produto.
Teorema. Deixei$E$ e $F$ser conjuntos não vazios. Se cada subconjunto do produto$E\times F$ é um produto de conjuntos, então $E$ ou $F$ tem um único elemento.
Prova. Suponha$u,v\in F$, com $u\ne v$. Deixei$x\in E$; então, para cada$x\in E$, nós temos isso $A=\lbrace(a,u),(x,v)\rbrace=E_1\times F_1$. Por definição,$a,x\in E_1$ e $u,v\in F_1$, assim também $(x,u)\in E_1\times F_1$. portanto$x=a$. QED
Suponha que seu conjunto $A$ poderia ser escrito como um produto $E_1 \times F_1$. Observe então que$$E_1 \times F_1 = \bigcup_{e\in E_1} (e \times F_1)$$mas seus candidatos claramente não são desta forma.
(Sim, eu sei que deveria escrever tecnicamente $\{e\}\times F_1$, mas $e\times F_1$ é um abuso muito comum de notação.)
Supondo que o produto seja $A\times A$, o subconjunto de $A\times A$, $B$ é um produto de um subconjunto de $A$ E se $B$é alguma forma de "retângulo". Ou seja, para qualquer$x,y,d,e\in A$, $(d,x)\in B$ e $(e,y)\in B$ implica $(d,y)\in B$ e $(e,x)\in B$.
Se a condição acima for suposta, para qualquer par de elementos $C=(x,y)\times (d,e)$, sempre tem a conclusão: $C$ é um subconjunto de $A\times A$ e $C$é um produto cartesiano. Além disso, deixe$x,y,d,e$ passar por todos os elementos de $B$, de modo que está provado.
Também deve ser correto para cartesiano de 2 conjuntos diferentes.