Calcular limites trigonométricos

Question

Preciso de ajuda para resolver esta tarefa, se alguem tivesse um problema parecido me ajudaria.

A tarefa é:

Calcule usando a regra $\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\large e $:

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\mathrm{tg}\: x}{1+\sin x}\right)\Large^{\frac{1}{\sin x}} $

Eu tentei isso:

$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1+\mathrm{tg}\: x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}} $

Mas não sei, como resolver esta tarefa. Desde já, obrigado !

Answer 1

Escreva

$$\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{1/\sin x}=\frac{\left(1+\tan x\right)^{1/\sin x}}{\left(1+\sin x\right)^{1/\sin x}}$$

e o denominador tende a $e$ (Porque $\sin x$ tende a $0$)

Então

$$\left(1+\tan x\right)^{1/\sin x}=\left(\left(1+\tan x\right)^{1/\tan x}\right)^{1/\cos x},$$

que tende a $e^1$.

Answer 2

Notamos que pela regra de l'Hopital $$ \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}=\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\tan x)}{\sin x}=1 $$ Portanto: $$ \lim_{x\to0}\bigg(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\bigg)^{1/\sin x}=\lim_{x\to0}\exp\bigg[\frac{\ln(1+\tan x)}{\sin x}- \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}\bigg]=e^{1-1}=1 $$ Também podemos mostrá-lo usando o limite exigido: $$ \lim_{x\to0}\bigg(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\bigg)^{1/\sin x}= \frac{\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{1/\sin x}}{\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{1/\sin x}} \\ =\frac{\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}(1-\frac{1}{y^2 })^{1/2}]^y} {\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}]^y}=\frac{\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y} ]^y} {\lim_{y\to\infty}[1+\frac{1}{y}]^y}=\frac{e}{e}=1 $$

Answer 3

Você tem a ideia certa, mas para obter uma melhor correspondência com a forma fornecida na regra, você deve separar um add-end $1$da base. portanto

$\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac1{\sin x}}=\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac1{\sin x}}$

Agora introduza o segundo termo da base como um fator no expoente. O recíproco do fator é então multiplicado pelo expoente original$1/\sin x$:

$=\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}\cdot\dfrac{\tan x-\sin x}{(\sin x)(1+\sin x)}}$

$=\color{blue}{\left(\left(1+\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\dfrac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}}\right)}^{\color{brown}{\dfrac{\tan x-\sin x}{(\sin x)(1+\sin x)}}}$

A expressão azul dentro do maior conjunto de parênteses segue sua regra e, portanto, tem um valor limite de $e$. Os demais termos, de cor marrom, são um expoente dessa expressão que tende a$e$, que tem algum limite $L$que você deve encontrar. O limite geral seria$e^L$.