Calcule o valor de $f(x)$

Question

$$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$

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Meu professor me disse para diferenciar essa função e, em seguida, reorganizar para integrar.

Primeiro, eu substituí $x-t=p$;$-dp=dt$. Portanto,$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$Então, quando apliquei a regra de Leibniz, na variável de integração, posso colocar x em vez de p? Foi nesse ponto que fiquei preso e não consegui descobrir o que fazer. alguém pode me ajudar por favor?

Answer 1

Dado $$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$ então por diferenciação: \begin{align} 2 \, x + e^{-x} \, f(0) + \int_{0}^{x} e^{-t} \, f'(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(0) \, e^{-x} + [- e^{-t} \, f(x-t) ]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} e^{-t} \, f(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(x) - [ f(x) - x^2 ] &= f'(x) \\ 2 \, x + x^2 &= f'(x) \end{align} e leva a $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3} + c_{0}.$$ Agora quando $x=0$ a equação original produz $f(0) = 0$ e leva a $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Como comparação, pode-se usar a convolução de integrais com a transformada de Laplace. Nesta visão, é determinado que:\begin{align} \mathcal{L}\{ f(t) \} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \, f(t) \, dt \\ \frac{2}{s^2} + \mathcal{L}\{e^{-x}\} \, f(s) &= f(s) \\ \frac{2}{s^2} + \frac{f(s)}{s+1} &= f(s) \\ f(s) &= \frac{2(s+1)}{s^4} = \frac{2}{s^3} + \frac{2}{s^4} \end{align} e a transformação inversa produz $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Os dois métodos terminam com a mesma solução.

Answer 2

Dica:

Antes de diferenciar, transforme

$$\int_0^x e^{-t}f(x-t)\,dt=\int_0^x e^{t-x}f(t)\,dt=e^{-x}\int_0^x e^{t}f(t)\,dt$$ e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Answer 3

Eu descobri outro método;

$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$

Ao aplicar a regra de diferenciação do produto,

$$f(x).g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

Nós temos,

$$2x-e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp+f(x)=f'(x)$$

Desde a, $$e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)-x^{2}$$

Portanto, após a substituição, obtemos,

$$2x-(f(x)-x^2)+f(x)=f'(x)$$ $$f'(x)=2x+x^2$$

Portanto, $$f(x)=x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

E aqui, $c=0$ Como $f(0)=0$;