Calcule o valor do seguinte limite

Sep 24 2020

Então, eu dei o limite: $$\lim_{x\to0} \frac{2\sin\left ( e^{-\frac{x^2}{2}} -\cos x \right)}{(\arctan(\sinh(x^2))^2}$$

Tenho lutado por horas com isso. Desde que eu peguei a forma indefinida quando coloquei$x=0$ Experimentei o método L'Hopital e chego a este ponto:

$$\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(e^{-\frac{x^2}{2}}-\cos x)(e^{-\frac{x^2}{2}}(-x)+\sin x)}{\frac{4x \arctan(\sinh(x^2))\cosh(x^2)}{\sinh(x^2)+1}}$$

Ainda aqui quando substituo x por $0$ eu ainda consigo $0$. Tentei fatorar ax, também tentei usar as identidades$cos(A-B)$ e assim por diante, mas nada.

Acho que a resposta que deveria sair é $\frac{1}{6}$

Ficaria muito grato pela sua ajuda, Annalisa

Respostas

1 robjohn Sep 25 2020 at 03:28

Pode ser mais fácil considerar alguns limites comuns como $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\tag1 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\sinh(x)}{x}=1\tag2 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1\tag3 $$ Usando esses três limites, obtemos $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac{2\sin\left(e^{-x^2/2}-\cos(x)\right)}{\left(\arctan\left(\sinh\left(x^2\right)\right)\right)^2}\\ &=\scriptsize2\,\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}\right)}{\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}}\vphantom{\frac1{\left(x^2\right)}}}_{1}\underbrace{\left(\lim_{x\to0}\frac{\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}}{\arctan\left(\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}\right)}\lim_{x\to0}\frac{\color{#00F}{x^2}}{\sinh\left(\color{#00F}{x^2}\right)}\right)^2}_{(1\cdot1)^2}\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag4\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag5 \end{align} $$ o que é muito mais fácil de avaliar com L'Hôpital: $$ \begin{align} 2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4} &=2\lim_{x\to0}\frac{-xe^{-x^2/2}+\sin(x)}{4x^3}\tag6\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^2-1\right)e^{-x^2/2}+\cos(x)}{12x^2}\tag7\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(-x^3+3x\right)e^{-x^2/2}-\sin(x)}{24x}\tag8\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^4-6x^2+3\right)e^{-x^2/2}-\cos(x)}{24}\tag9\\[3pt] &=\frac16\tag{10} \end{align} $$

5 Plussoyeur Sep 24 2020 at 16:32

Se você estiver ciente das expansões da Taylor: $$ e^{\frac{-x^2}{2}} =_{x \rightarrow 0} 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) $$ $$ \cos(x) =_{x \rightarrow 0} 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$ Então $$ e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{12} + o(x^4) $$ Agora porque $sin(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x)$ então $$ 2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x)) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{6} + o(x^4) $$ E para o denominador: $$ \sinh(x^2) =_{x \rightarrow 0} x^2 + o(x^2) $$ $$ \arctan(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x) $$ Então: $$ (\arctan(\sinh(x^2))^2 =_{x \rightarrow 0} x^4 + o(x^4) $$

E assim: $$ \frac{2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x))}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6} + o(1) $$

2 user Sep 24 2020 at 17:00

Nós temos isso

$$\frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =$$

$$=\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2}{\sinh(x^2)}\right)^2\cdot \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }\cdot2\cdot\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} $$

e uma vez que pelos limites padrão

$$\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\to 1, \quad\left(\frac{\sinh(x^2)}{x^2}\right)^2\to 1, \quad \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x } \to 1$$

nós reduzimos a

$$\lim_{x\to 0} \frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} = 2 \cdot \frac1{12}= \frac16$$

que pode ser mostrado pela expansão de Taylor ou por l'Hospital como segue

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{-xe^{\frac{-x^2}2}+\sin x }{4x^3}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2e^{\frac{-x^2}2}-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x }{12x^2}=$$