Cálculo de Schubert

Question

Deixei $X = Gr(2,4)$ o complexo Grassmanniano de $2$- aviões em $V = \Bbb C^4$ e $S$ o feixe tautológico, $Q$o pacote quociente. O anel de cohomologia é gerado por$c_1(S), c_2(S)$ com relações $c(S)c(Q) = 1$, vindo da curta sequência exata de pacotes vetoriais $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Deve-se obter $c_1(S)^4 = 1$puramente dessas relações, mas não consigo fazer isso. Alguém pode explicar como fazer isso?

Answer 1

Em primeiro lugar, $c_1(S)^4 = 2$, não 1. O cálculo em si é bastante fácil. Deixe-me denotar$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Então as relações são$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ O primeiro dá $b_1 = -a_1$, o segundo dá $b_2 = a_1^2 - a_2$, e os dois últimos dão $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Uma combinação das duas últimas igualdades dá $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ conseqüentemente $a_1a_2^2 = 0$. Isso significa que o anel de cohomologia é medido$\mathbb{Z}$ de $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, e essa $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ que se traduz na igualdade necessária $c_1(S)^4 = 2$.