Círculo em uma geometria quadrada

Question

Digamos que há um círculo em um quadrado. O círculo tem um raio$r$ enquanto o quadrado tem um comprimento lateral de $2r$.

Ok, agora sabemos disso $\pi=4\frac{A_c}{A_s}$, Onde $A_c$ e $A_s$ são a área do quadrado e do círculo, respectivamente.

Só por diversão, pensei em ver se havia uma relação entre o perímetro e o valor de $\pi$. Acontece que$\pi=4\frac{P_c}{P_s}$ onde P é perímetro ou circunferência.

Agora sabemos que $\pi$ é constante, então podemos definir essas expressões iguais iguais umas às outras $4\frac{A_c}{A_s}=4\frac{P_c}{P_s}$. Dividindo o$4$, nós entendemos que:

$\frac{A_c}{A_s}=\frac{P_c}{P_s}$.

Mas isso não faz sentido? Como podem os perímetros e as áreas iguais?

Ah, sim, descobri isso depois de aprender um pouco sobre os métodos de monte carlo.

Answer 1

Uma maneira de pensar sobre isso é considerar um pequeno pedaço de perímetro (circunferência) e unir seus dois pontos finais ao centro comum do quadrado e do círculo.

Observe como a distância perpendicular do centro a esse pedaço de perímetro é sempre $r$, para o quadrado e o círculo.

Por um pedaço do perímetro quadrado de comprimento $s$, a área do triângulo que forma com o centro é

$$a = \frac 12 r\cdot s$$

Para um pedaço da circunferência do comprimento do arco $s$, a área do setor que forma com o centro é

$$a = \pi r^2 \cdot \frac{s}{2\pi r} = \frac 12 r\cdot s$$

Portanto, a área que cada pequeno pedaço de perímetro (circunferência) contribui para a área total é a mesma em ambos os casos.

Isso não quer dizer que "os perímetros e as áreas são iguais", mas a proporção dos perímetros e a proporção das áreas são iguais $\left(\frac4\pi\right)$.

Answer 2

Os perímetros e áreas não são "iguais".

Você tem duas proporções, que são números adimensionais e são iguais. Nada especial.