Co-variação quadrática de dois processos compostos de Poisson.
Este não é um problema de lição de casa, mas uma questão de curiosidade e, portanto, a questão pode não ser bem construída, mas eu quero que a comunidade me ajude a entender este conceito e, portanto, respondê-lo. Se você acha que a questão pode ser melhor formulada, por favor, me diga. Eu realmente apreciaria qualquer ajuda na forma de comentários / respostas.
Eu quero descobrir a covariação quadrática de dois semimartingales $Z_1,Z_2$ onde ambos são processos de veneno composto e estão correlacionados por, digamos, um fator de $\rho_1$.
E se $Z_1(t)=\sum^{N_1(t)}Y_i$ e $Z_2(t)=\sum^{N_2(t)}U_j$ são dois processos de Poisson compostos, então qual será a covariação quadrática de $Z_1,Z_2$ , ie $[Z_1,Z_2](t)$ ?
Nisso $N_1$ e $Y_i$ são independentes e $N_2$ e $U_j$ são independentes e com $Y_i$ é um iid e também $U_j$ é um iid Podemos assumir que $E(Y_i)=\mu_1$ e $E(U_j)=\mu_2$. Também podemos supor que os saltos$N_1,N_2$ são correlacionados por $\rho_2$ e $Y_i,U_j$ são enrugados por um fator de $\rho_3$ (se necessário).
Uma das maneiras que pensei foi calcular $[Z_1,Z_2](t)=Z_1(t)Z_2(t)−Z_1(0)Z_2(0)−\int^t_0Z_1(s)dZ_2(s)−\int^t_0 Z_2(s)dZ_1(s)$ onde teremos $dZ_1(s)=Y_iN_1(s)$ e $dZ_2(s)=U_jN_2(s)$.
Estou aberto a outros métodos para calcular o mesmo, pois não fui capaz de proceder muito acima. Além disso, se você puder encontrar uma referência, mencione o link abaixo.
Respostas
Então.
Nós temos isso $ Z_1(t) = \sum^{N_1(t)}Y_i $ e $ Z_2(t) = \sum^{N_2(t)}U_j $ são processos de poisson semimartingale e compostos com coeficiente de correlação $ \rho_1 $ e tamanhos de salto iid (de $ Y_i $ E $ U_j $ sendo iid) onde $ \left( N_1 \perp \!\!\! \perp Y_i \right) \land \left( N_2 \perp \!\!\! \perp U_j \right) $. Como$ Z_1 $ e $ Z_2 $ são ambos semimartingale, sabemos que existe covariância quadrática entre eles.
Ele deve ser assumido que$ E(Y_i) = \mu_1 $ e $ E(U_j) = \mu_2 $são finitos para os dois processos a serem correlacionados; isto é, as variáveis aleatórias$ Y_i $ e $ U_j $ deve ser distribuído normalmente.
Isso me leva à suposição mais imprudente de que estamos trabalhando com distribuições gaussianas aqui ... mas, felizmente, podemos ver que a forma da distribuição gaussiana, $ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $, é passível de uma decomposição semimartingale (contínua e, portanto, única) em que podemos usar $Y_i=M_1(i) + X_1(i)$ e $U_j=M_2(j) + X_2(j)$ escrever $ y(i) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{Y_i-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2} = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{M_1(i)+X_1(i)-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2} $ e $ u(j) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{U_j-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2} = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{M_2(j)+X_2(j)-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2} $. Trabalhar com isso pode ser uma opção.
Também observo que a integral de Itô $ [Z,Z]_t = \int_0^t{\sigma^2(s)ds} $pode ser usado para encontrar a covariância quadrática entre dois processos Itô (porque todos os processos semimartingale são processos Itô) por meio da fórmula de polarização$ \left[Z_1,Z_2\right]_t = \frac{1}{2}\left[Z_1+Z_2,Z_1+Z_2\right]_t - \left[Z_1,Z_1\right]_t - \left[Z_2,Z_2\right] $. O uso do Itô integral obtém$ \left[Z_1,Z_1\right]_t = \int_0^t{\sigma_1^2(s)ds} $ e $ \left[Z_2,Z_2\right]_t = \int_0^t{\sigma_2^2(s)ds} $. Uma vez que as somas dos processos Itô são processos Itô, também obtemos$ \left[Z_1+Z_2,Z_1+Z_2\right]_t = \int_0^t{\left(\sigma_1+\sigma_2\right)^2(s)ds} $ para que tenhamos
$$ \left[Z_1,Z_2\right]_t = \frac{1}{2}\int_0^t\left(\sigma_1+\sigma_2\right)^2(s)ds - \int_0^t\sigma_1^2(s)ds - \int_0^t\sigma_2^2(s)ds $$ que é mais ou menos semelhante, mas diferente do que você está trabalhando?
Isso pode conter erros, mas as ideias básicas são:
- Considere trabalhar com fórmulas gaussianas.
- Trate os processos como processos Itô.
A seguir está um modelo simples para processos compostos correlacionados. Deixei$ N=\{N_t,t\ge 0\} $ ser um processo de Poisson com $ \mathsf{E}[N_t]=\lambda t $ e $ Y=\{ ( Y_k^{(1)} ,Y^{(2)}_k), k\ge 1 \} $ ser uma sequência de variáveis aleatórias iid 2-d, com $$ \mathsf{E}[Y^{(i)}_k Y^{(j)}_k]=m_{ij},\qquad i,j=1,2,\quad k\ge 1 $$ Além disso, $ Y $ e $ N $são independentes mútuos. Agora defina$X=\{X_t=(X^{(1)}_t,X^{(2)}_t), t\in\mathbb{R}_+\}$ como segue: $$ X^{(i)}_t=\sum_{k=1}^{N_t}Y_k^{(i)}, \qquad i=1,2. $$ Então $X^{(1)}=\{ X^{(1)}_t,t\in\mathbb{R}_+\}$, $X^{(2)}=\{ X^{(2)}_t,t\in\mathbb{R}_+\} $são Processos de Poisson compostos correlacionados. Usando os resultados gerais dos Processos de Poisson compostos podemos obter a covariação quadrática$[X^{(i)},X^{(j)}] $ como segue: $$ [X^{(i)},X^{(j)}]_t=\sum_{s\le t} \Delta X^{(i)}_s \Delta X^{(j)}_s = \sum_{k=1}^{N_t}Y_k^{(i)} Y_k^{(j)},\qquad i,j=1,2 $$ E as covariações quadráticas previsíveis são $$ \langle X^{(i)},X^{(j)}\rangle_t=m_{ij}\lambda t,\qquad i,j=1,2 $$ Sobre os resultados gerais do cálculo estocástico e dos processos compostos de Poisson, consulte os seguintes livros:
J. Jacod e AN Shiryayev, Limit Theory for Stochastic Processes , 2ed. Springer, 2003.
AE Kyprianou, Fluctuations of Lévy Processes with Applications , 2ª Ed., Springer, 2014.
D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus , 2ª Ed, Cambridge University Press, 2009.