Coeficientes de equação de funções trigonométricas

Question

Não entendo como funciona a equação / comparação de coeficientes de funções trigonométricas e identidades. Vou usar essa pergunta como exemplo. A questão é a seguinte.

Use a definição básica de periodicidade para mostrar algebricamente que o período de $f(x) = \sin(nx)$ é $\frac{2\pi}{n}$ para todos $n > 0$.

A resposta que obtive é a seguinte:

O período de uma função $f(x)$ é o menor $p > 0$ de tal modo que $f(x+p) = f(x)$ \ begin {reúna *} \ portanto \ sin [n (x + p)] = \ sin (nx) \\ \ portanto \ sin (nx + np) = \ sin (nx) \\ \ portanto \ sin (nx) \ cos (np) + \ cos (nx) \ sin (np) = \ sin (nx) \ end {reunir *} Aqui está a parte em que preciso de ajuda. A resposta no livro continua a seguinte:

Coeficientes de equação de $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$, \ begin {reúna *} \ cos (np) = 1, \ sin (np) = 0 \\ \ portanto np = 2k \ pi, k \ subset \ Bbb R \\ \ portanto p = \ frac {2k \ pi } {n}, k \ subset \ Bbb R \ end {reunir *}

Eu só não entendo como eles chegaram à conclusão de que $\cos(np) = 1$ e essa $\sin(np) = 0$.Alguém pode explicar?

Answer 1

Muito simples: em $$\sin nx\cos np+\cos nx\sin np,$$ As funções $\sin nx$ e $\cos nx$ (como funções de $x$) são linearmente independentes.

Answer 2

Sua terceira linha de trabalho é:

$ \therefore \sin(nx) \cos(nx) + \cos(nx)\sin(np) = \sin(nx) $

No entanto, você cometeu um "erro bobo" aqui. Deveria dizer,

$ \therefore \sin(nx) \cos(np) + \cos(nx)\sin(np) = \sin(nx) $

Agora que resolvemos isso, veja a resposta de Bernard.

Para uma prova da resposta de Bernard, ou seja, para mostrar que aquele $\sin(u(x))$ e $\cos(u(x))$são independentes, consulte: Independência linear de$\sin(x)$ e $\cos(x)$