Como calcular a norma funcional linear

Question

Eu estava tentando calcular a norma funcional $F: L^p([0;1]) \to {\rm I\!R}$, dado pela fórmula: $$ F(f) = \int_{[0;1]} x f(x) \ d\lambda(x), $$ para $p \in [1; \infty)$ e $\lambda$ - Medida Lebesgue em $[0;1]$. Eu vi a solução para$p = 1$ aqui , mas não tenho certeza se para$p > 1$pode ser feito da mesma maneira. Se pegarmos$f \in L^p([0;1])$, de tal modo que $\Vert f \Vert_{L^p} = 1$, podemos aplicar a desigualdade de Hölder: $$ |F(f)| \le \int_{[0;1]} x |f(x)| \ d\lambda(x) \le \int_{[0;1]} |f(x)| \ d\lambda(x) \le \Big(\int_{[0;1]} |f(x)|^p \ d\lambda(x)\Big)^{\frac{1}{p}}\Big(\int_{[0;1]} |1|^{1 - \frac{1}{p}} \ d\lambda(x)\Big)^{1 - \frac{1}{p}} = \Vert f \Vert_{L^p} \cdot \lambda([0;1]) = 1. $$ assim $|F(f)| \le 1$. Infelizmente eu falhei em mostrar que$|F(f)| \ge 1$. Eu estava tentando construir uma sequência semelhante à aqui para cada$p > 1$. Como mostrar a segunda desigualdade? Agradeço antecipadamente por todas as dicas.

Answer 1

É uma má ideia usar $x \leq 1$ em obter um limite superior para $\|F\|$. Deixei$q$ ser o conjugado de índice para $p$ (ie $q=\frac p {p-1}$) Então$|F(f)| \leq \|f\|_p (\int x^{q})^{1/q}$pela desigualdade de Holder. Conseqüentemente$\|F\| \leq (\int_o^{1} x^{q}dx)^{1/q}=\frac 1 {(q+1)^{1/q}}$. Esta é realmente uma igualdade. Para ver isso, você deve usar a condição de igualdade na desigualdade de Holder. Lembre-se disso para$f,g \geq 0$ a condição para $\int fg =(\int f^{p})^{1/p} (\int g^{q})^{1/q}$ é $f^{p}= cg^{q}$. Então pegue$f(x)=x^{q/p}$. Calcular$\|f\|$ e verifique isso $|F(\frac f {\|f\|})| =\frac 1 {(q+1)^{1/q}}$. Isso prova que$\|F\| =\frac 1 {(q+1)^{1/q}}$.

PS

Este é precisamente o argumento usado para provar que o dual de $L^{p}$ é $L^{q}$. Portanto, temos o seguinte fato geral: Se definirmos$F(f)=\int_0^{1} f(x)g(x)d\lambda (x)$ para todos $f \in L^{p}$ então a norma de $F$ é igual a $(\int_0^{1}|g(x)|^{q}d\lambda(x))^{1/q}$.