Como calcular explicitamente esse envelope convexo?

Question

Defina uma função $F:[0, \infty) \to [0,\infty)$ de $$F(s) := \begin{cases} \sqrt 2|\sqrt{s}-1|, & \text{ if }\, s \ge \frac{1}{4} \\ \sqrt{1-2s}, & \text{ if }\, s \le \frac{1}{4} \end{cases} $$

$F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ é função contínua e satisfatória $F(1)=0$; está aumentando estritamente em$[1,\infty)$, e diminuindo estritamente em $[0,1]$.

Deixei $\hat F(x) = \sup \{ h(x) \mid \text{$h$ is convex on $[0, \ infty)$}, h \le F \} \, $ seja o envelope convexo de $F$. Podemos obter uma expressão explícita para$\hat F$?

Eu tentei traçar $F$, mas até agora não tenho ideia de como abordar o cálculo.

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Motivação:

$F=\sqrt G$, Onde

$$G(s) := \begin{cases} 2(\sqrt{s}-1)^2, & \text{ if }\, s \ge \frac{1}{4} \\ 1-2s, & \text{ if }\, s \le \frac{1}{4} \end{cases} $$

$G$ é convexo, pois é $C^1$com derivada não decrescente. A função$G$surge naturalmente no contexto deste problema de otimização .

Answer 1

Observe que $\hat F$é uma função convexa. Também é claro que$\hat F \ge 0$ Desde a $F\ge 0$ e $\hat F(1) = 0$. Primeiro temos$$\tag{1} \hat F(s) = 0, \ \ \ \ \text{ for all } s>1.$$ Para mostrar (1), suponha que, ao contrário, $\hat F(s_0) >0$ para alguns $s_0 >1$. Deixei$\ell(x) = ax+b$ seja a função linear passando por $(1,0)$ e $(s_0, \hat F(s_0))$. Desde a$\hat F$ é convexo, $F(s) \le \ell (s)$ para todos $s\in (1, s_0)$. Por convexidade de$\hat F$ novamente, isso implica $$\tag{2} \hat F(s) \ge \ell(s), \ \ \ \ \text{for all } s> s_0.$$ Agora desde $F(s_0) >0$, a inclinação de $\ell$é positivo. Além disso
$$ \lim_{s\to +\infty} \frac{\sqrt 2 |\sqrt s-1|}{\ell(s)} = 0$$ portanto $\ell(s) >F(s)$ quando $s$é grande o suficiente. Por (2) isso é impossível, pois$\hat F \le F$. Assim, mostramos (1).

Resta encontrar $\hat F(s)$ quando $s <1$. Observe que\begin{align} F'' \le 0 & \ \ \text{ on } [0,1/4), \\ F'' \ge 0 & \ \ \text{ on } (1/4,1). \end{align} e $$\tag{3} \lim_{s\to 1/4^+} F'(s) = -\sqrt 2 < 2 (\sqrt 2 -2) = \frac{F(1/4) - F(0)}{1/4-0} $$ Deixei $y=\ell_1(s)$ seja a linha reta que passa por $(0,1)$ e é tangencial a $F$ em algum $s\in (1/4, 1)$. E se$(\bar s, F(\bar s))$ é o ponto de contato, então \begin{align} \frac{F(\bar s) - 1}{\bar s-0} &= F'(\bar s)\\ \Rightarrow \sqrt 2 (1-\sqrt {\bar s})-1 &= -\bar s (\sqrt 2\sqrt {\bar s})^{-1} \\ \Rightarrow 2 - 2\sqrt {\bar s} - \sqrt 2&= -\sqrt {\bar s}\\ \Rightarrow \bar s &= (2-\sqrt 2)^2 = 6-4\sqrt 2. \end{align}

Agora afirmamos que

$$ h(s)= \begin{cases} \ell_1 (s) & \text{ if } s\in [0,\bar s], \\ F(s) & \text{ if } s\in (\bar s, 1],\\ 0 & \text{ if } s >1. \end{cases}.$$

É o envelope convexo. Em primeiro lugar,$h(s)$é convexo. Assim, por definição$h\le \hat F \le F$. E se$h \neq \hat F$, então $h(s) < \hat F(s)$ para alguns $s\in (0, \bar s)$. Mas então$\hat F(s) > \ell_1(s)$e $\ell_1$ é a ligação da linha $(0,\hat F(0))$ e $\bar s, \hat F(\bar s))$, o que contradiz a suposição de que $\hat F$é convexo. portanto$h = \hat F$.