como convergência e um argumento subsequente

Question

Esta é uma questão sobre como convergência e um argumento subsequente.

Deixei $\{X_t\}_{t>0}$ ser um processo estocástico de valor real definido em um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Nós assumimos que$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ em probabilidade.

Deixei $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser uma sequência de números positivos de forma que $t_n \downarrow 0$ Como $n \to \infty$, e $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ ser uma subsequência de $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$. Porque$\lim_{t \downarrow 0}X_t =0$ em probabilidade, temos uma subsequência $\{t_{n_{k_l}}\}_{l=1}^{\infty}$ do $\{t_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ de tal modo que $\lim_{l \to \infty}X_{t_{n_l}}=0$ $P$-Como

No entanto, isso não implica que $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$- como porque a convergência não é metrizável em geral. Então, assumimos além disso que o mapa$t \mapsto X_t$ é contínuo $P$-Como

Neste caso, podemos mostrar que $\lim_{n \to \infty }X_{t_n}=0$ $P$-Como ?

Eu acho que esta é uma afirmação correta. Você conhece a prova?

Answer 1

Não é verdade. Deixei$(Y_n)$seja uma sequência que converge em probabilidade, mas não quase certa. Deixei$X_t =Y_n$ quando $t=\frac 1 n$ e deixar $X_t$ tem um gráfico linear em $[\frac 1 {n+1},\frac 1 n]$ para cada $n$. Desde a$|X_t| \leq \max \{|X_{\frac 1 {n+1}}|,|X_{\frac 1 n}|\}$ nós vemos que $X_t \to 0$em probabilidade. Levar$t_n=\frac 1 n$. Então$X_{t_n}\equiv Y_n$ não é quase certo convregent.