Como dar o esboço de um conjunto

Question

Estou convidado a dar um esboço deste conjunto: $K = \{(x,y)\in\mathbb R^2: 13x^2-10xy+13y^2=72\}$e então forneça os pontos para os quais a distância da origem é máxima / será máxima. Por favor me ajude. Não tenho ideia de como resolver isso. desde já, obrigado

Answer 1

Analise a relação dada

• É simétrico sobre $x=y$ como intercâmbio $x$ e $y$ produzir a mesma equação
• É simétrico sobre $x+y=0$ substituindo $y$ de $-x$ e $x$ de $-y$ produz a mesma equação.
• É uma equação de 2 graus em $x$ e $y$. Portanto, deve ser uma cônica.
• Não pode ser um círculo porque o coeficiente de $xy$ é diferente de zero
• Não pode ser uma parábola porque uma parábola tem apenas um eixo de simetria enquanto a curva já tem dois.
• Os coeficientes de $x^2$ e $y^2$são do mesmo sinal. Portanto, também não pode ser uma hipérbole.
• Portanto, a equação deve representar uma elipse, com os eixos sendo $x=y$ e $x+y=0$. Então, o centro está em$(0,0)$

Portanto, você precisa encontrar as distâncias máximas e mínimas de um ponto em uma elipse a partir de seu centro. Evidentemente, os pontos estarão ao longo dos eixos. Portanto, resolva a equação dada com$x=y$ e $x+y=0$para obter os pontos. Um deles representará a distância máxima e o outro representará a distância mínima. O resto do trabalho é deixado para o leitor.

Finalmente, é assim que a elipse se parece

Answer 2

Deixei $x=r\cos t, y=r \sin t$, então $$r^2(t)=\frac{72}{13-10 \sin t \cos t}=\frac{144}{26-10 \sin 2t}.$$ então $$r^2(t)_{min}=r^2(t=3\pi/4)=\frac{144}{36},~r^2(t)_{max}=r^2(t=\pi/4)=\frac{144}{16}$$ $r_{min}=2, r_{max}=3$, estes são os eixos semi-menor e semi-maior de uma elipse que são inclinados em um ângulo $3\pi/4$ e $\pi/4$ com eixo x.

Answer 3

A forma da equação deve indicar a você que esta é uma elipse com eixos $45^\circ$girado dos eixos padrão. Como tal, o LHS pode ser reescrito com$(x+y)^2$ e $(x-y)^2$: $$9(x-y)^2+4(x+y)^2=72$$ $$\frac{(x-y)^2}8+\frac{(x+y)^2}{18}=1$$ Portanto os pontos mais próximos e mais distantes da origem correspondem aos vértices da elipse e têm coordenadas da forma $(x,\pm x)$; você deve descobrir que os eixos semi-maior e semi-menor têm comprimentos$3$ e $2$ respectivamente, com o semi-eixo maior paralelo a $x=y$. A partir daí, você deve ser capaz de fazer um esboço.