como det (A) = 0 implica que a solução não é única? [duplicado]

Dec 31 2020

Solução da equação matricial Ax = b, onde $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

não é único, se vetores $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$são linearmente dependentes. Então, pelas propriedades do determinante,$$ \det A=0. $$Entretanto, sempre segue que se det A = 0, os vetores coluna de A são linearmente dependentes? Alguém pode apresentar uma prova?

Respostas

StinkingBishop Dec 31 2020 at 19:40

Uma prova possível:

  • Suponha que as colunas sejam linearmente independentes.
  • Converta a matriz em uma forma escalonada de coluna, começando da última coluna e trabalhando para trás.
  • Você sabe que o número de colunas linearmente independentes é o número de colunas diferentes de zero que você obtém. No entanto, como você assumiu que as colunas são independentes, não há colunas zero.
  • Em outras palavras, você acabou com uma matriz triangular com todos os elementos diferentes de zero na diagonal. Seu determinante é diferente de zero.
  • No entanto, as transformações elementares que usamos ao converter a matriz em uma forma escalonada linha / coluna não alteram a propriedade da diagonal para ser zero ou diferente de zero.
  • Portanto, o determinante era diferente de zero para começar.
orangeskid Dec 31 2020 at 21:00

Se a primeira coluna for toda $0$de, claro. Caso contrário, considere uma linha com o primeiro elemento$\ne 0$. Permute-o para que se torne a primeira linha. O determinante ainda é$0$, o sistema é equivalente ao anterior. Agora reduza todos os elementos na primeira coluna, abaixo da primeira linha. Ainda determinante$0$, sistema ainda equivalente. Agora, olhe para a matriz formada removendo a primeira linha e coluna. Determinante é$0$. Aplique indução, encontre uma solução diferente de zero$(x_2, \ldots, x_n)$. Agora use a primeira equação original para obter$x_1$. Agora temos uma solução diferente de zero para todo o sistema.